INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ELECTRÓNICA DIGITAL Á LGEBRA DE B OOLE Ing. Marco Antonio Reyes González

La mayoría de las veces es factible reducir una ecuación booleana que describe el comportamiento de un circuito; esto es porque es mas económico producir una ecuación reducida que la ecuación original. El algebra de conjuntos nos permitirá entender los teoremas y propiedades de los circuitos lógicos.

Postulados del Algebra de Boole. Definición: El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto X el cual contiene dos o mas elementos y entre los cuales se definen dos operaciones básicas denominadas suma “OR” (+) y multiplicación “AND” (●), la cuales cumplen las siguientes propiedades: Existencias de Neutros Existen en X, el elemento neutro de la suma (0) y el elemento neutro de la multiplicación (1), tales que para cualquier elemento de x tenemos que: x + 0 = x x ● 1 = x

Conmutativa Postulados del Algebra de Boole. Para cada x, z en X : x + z = z + xx ● z = z ● x Asociativa Para cada w, x, z en X : w + (x + z) = (z + x) + w w ● (x + z) = (wx) +(wz)

Postulados del Algebra de Boole. Distributiva Para cada w, x, z en X : w + (x ● z) = (w+x) ●(w+z)w ● (x + z) = (w●x)+(w●z) Existencias de complementos Para cada x en X existe un elemento único denominado x, tal que: x + x = 1x ● x = 0

Haciendo memoria Un conjunto esta conformado por una serie especifica de elementos. A B += C Donde C = todos los elementos de A o Todos los elementos de B Es equivalente a la operación “O” lógica (OR)

C esta conformado por elementos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo Operación “Y” lógica ( AND)

Utilicemos los diagramad de Venn para comprender la relación entre los diversos conjuntos. CONJUNTO UNIVERSAL, agrupa a todos los puntos del círculo cartesiano. Corresponde a el 1 (todo) en algebra Booleana. Supongamos por un momento que el universo en el que vamos a trabajar es un plano y que los elementos que lo integran son los cuatro cuadrantes del círculo cartesiano. Bajo esta consideración podemos hablar de los siguientes conjuntos:

CONJUNTO “Y”, agrupa a todos los puntos del primero y segundo cuadrantes. CONJUNTO NO Y, agrupa a todos los puntos del tercero y cuarto cuadrantes.

CONJUNTO X, agrupa a todos los puntos del primero y cuarto cuadrantes. CONJUNTO NO X, agrupa a todos los puntos del segundo y tercero cuadrantes.

X + X Y + Y Operaciones de unión X + Y

Operaciones de intersección X ● Y

Veamos como expresar esto con circuitos de conmutación Utilicemos switches o interruptores para ejemplificar el algebra de boole. Los switches solo pueden tener 2 posiciones encendido (1) o Apagado (0). La operación suma es una conexión en paralelo. La operación multiplicación es una conexión en serie. A B (A+B) AB (A B)

= A B C A A B C A ( B + C ) = A B + A C A BC = A B A C A + B C(A + B) (A + C) =

Teoremas del Algebra Booleana. Estos teoremas están basados en los postulados del algebra de Boole. Que vimos con anterioridad 1) Neutros A (0) = 0 A + 1 = 1 2) Absorción A + AB = A A ( A + B ) = A 3) Cancelación A + A B = A + BA ( A + B ) = A B A B + A B = B( A + B ) ( A + B ) = B

Teoremas del Algebra Booleana. 4) Idempotencia A A = A A + A = A 5) Consenso AB + AC + BC = AB + AC (A+B)(A+C) (B+C) = (A+B)(A+C) 6) Teorema de Morgan AB = A + B A + B = A B

Por su atención gracias.