CARRERA PROFESIONAL: Lengua, Traducción e Interpretación Asignatura: MATEMÁTICA Tema: “FUNCIONES LÓGICAS”

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2 CARRERA PROFESIONAL: Lengua, Traducción e Interpretación Asignatura: MATEMÁTICA Tema: “FUNCIONES LÓGICAS”

3 Algebra de Boole En la mayor parte de los sistemas digitales de gran escala, tales como calculadoras, procesadores de datos, control o sistemas de comunicaciones digitales, etc., sólo hay unas pocas operaciones básicas, que deben llevarse acabo. Estas operaciones deberán repetirse, a buen seguro, un gran número de veces. Las funciones lógicas más empleadas comúnmente para tales sistemas, son: O, Y, NO. Se denominan funciones lógicas o puertas lógicas, porque se emplean las ecuaciones del álgebra de Boole, o algebra booleana. Esta álgebra fue inventada a mediados del siglo XIX por George Boole, para obtener un sistema de análisis matemático de la lógica.

4 OPERACIONES DIGITALES DE UN SISTEMA Un sistema digital funciona de una manera binaria. Emplea sistemas en que sólo son posibles dos estados. Físicamente en un computador puede tener una tensión elevada En lógica, una premisa se caracteriza como verdadera o falsa, y ésta es la primera clasificación binaria TABLA TERMINOLOGIA DEL ESTADO BINARIO

5 En la siguiente tabla se da una reducida lista de números equivalentes, entre el sistema binario y el decimal.

6 Sistemas lógicos En un sistema de continuidad, o nivel lógico, un bit se caracteriza por uno de los dos niveles de tensión eléctrica. La tensión más positiva es el nivel 1 y la otra es el nivel 0, se dice que el sistema emplea lógica positiva. un sistema lógico negativo, es el que designa el estado de tensión más negativo del bit, como el nivel 1 y el más positivo como el nivel 0.

7 Sistemas lógicos 5 5 V (1) = 4V V (0) = 4V 3 3 0.40.4 0 t 1 t t 1 0 t (a) (b) V (0) = 0.2V V(1) = 2V

8 En un sistema dinámico o de lógica de impulsos, el bit se reconoce por la presencia o ausencia del impulso. Un 1 significa la existencia de un impulso positivo en un sistema dinámico de lógica positiva, y un impulso negativo indica 1, en un sistema dinámico de lógica negativa. En ambos sistemas, un 0 en una entrada (o salida), en un instante de tiempo dado, significa que no hay impulso alguno en ese momento particular. Sistemas lógicos

9 Puerta O Una puerta O tiene dos o más entradas y una sola salida, y funciona de acuerdo con la siguiente definición: la salida de un O se halla en el estado 1, si una o más de las entradas, está en 1. Las n entradas de un circuito lógico las designaremos con las letras A, B,....., N, y la salida por Y, con el bien entendido de que cada uno de estos símbolos puede suponer uno cualquiera de los estados lógicos, 0 ó 1. En lugar de definir una operación con palabras, se puede emplear el método de la tabla de la verdad, que contiene una lista de todos los valores posibles de las entradas y sus correspondientes salidas. Debe quedar claro que la tabla de la verdad de dos entradas de la figura, equivale a la definición anterior del funcionamiento del O.

10 EntradaSalida A BY 0 00 0 11 1 01 1 11 Y = A + B +.... + N (a) (b) En la figura viene dibujado el símbolo normalizado de una puerta lógica O, junto con la expresión de Boole para tal puerta. Esta ecuación debe leerse “Y igual A ó B ó....ó N”. Puerta O IDENTIDADES DE BOOLE A + B + C = (A +B) + C = A + (B + C) A + B = B + A A + A = A A + 1 = 1 A + 0 = A

11 Puerta Y Una puerta Y tiene dos o más entradas y una sola salida, y funciona de acuerdo con la siguiente definición: La salida de la puerta Y estará en estado 1, sólo si están en el estado 1, todas las entradas. En la figura se da el símbolo del circuito Y, junto con la expresión de Boole para dicha puerta

12 La ecuación se lee Y igual A y B y... y N”;.a veces se coloca un punto (.) o una aspa (x,) entre los símbolos, para indicar la operación Y. Se puede comprobar que la tabla de verdad de dos entradas de la figura, responde a la definición de la función Y. Puerta Y EntradaSalida A BY 0 00 0 10 1 00 1 11 A B Y N Y = A x B x C x……. x N IDENTIDAD DE BOOLE A BC = (AB) C = A (BC) A B = BA AA = A A1 = A A 0 = 0 A (B + C) = AB + AC A + AB = A A + BC = (A + B) (A + C)

13 Puerta NO La puerta lógica NO tienen una sola entrada y una sola salida, y responde a la negación lógica, de acuerdo con la siguiente definición: La salida de un circuito NO tiene el estado 1, solo si la entrada no toma el estado 1. La norma para indicar una negación lógica, es un pequeño circuito en el punto que la línea de señal se une a un símbolo lógico. La negación en la entrada de un bloque lógico (a), y la salida en la figura (b). El símbolo de una puerta NO y la expresión de Boole para la negación. La ecuación se lee “Y igual a NO A” o bien “Y es el complemento de A”; a veces se emplea una vírgula ( ) en lugar de un (-), para indicar la operación NO.

14 Leyes de Moorgan La afirmación “Si todas las entradas son ciertas, (1), la salida es verdadera (1)” es lógicamente equivalente a “Si por lo menos una de las entradas es falsa (0), la salida es falsa (0)”. En notación de Boole, ésto equivale a escribir: ABC = A + B + C +... Si tomamos el complemento de ambos lados de esta ecuación y empleamos la ecuación A = A, obtendremos: ABC.... = A + B + C +...... Esta ecuación y su dual: A + B + C +.. = A B C....

15 Resumen Leyes fundamentales O Y NO A + 0 = A A0 = 0 A + A = 1 A + 1 = 1 A1 = A A A = 0 A + A = A AA = A A = A A + A = 1 AA = 0 Leyes asociativas (A + B) + C = A + (B + C)(AB) C = A (BC) Leyes Conmutativas A + B = B + A AB = BA Leyes distributivas A (B + C) = AB + AC Leyes de Morgan A B... = A + B +... A + B +... = AB.. Identidades auxiliares A + AB = A A + A’B = A + B (A + B) (A + C) = A + BC

16 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SAN FRANCISCO