UNIDAD: FUNCIÓN Y ECUACIÓN DE 2° GRADO Arquímedes de Siracusa (287 – 212 A.C ) es considerado el primer gran ingeniero de la historia. A él se deben grandes inventos de la antigüedad, muchos de los cuales siguen vigentes. Se cuenta que, durante la primera guerra púnica, Arquímedes se encargó de la defensa de su ciudad, Siracusa. Para ello, diseño sofisticados inventos para arrojar proyectiles, hundir barcos e incluso incendiarlos a distancia disponien- do espejos estratégicamente, de manera que concentraran los rayos solares sobre un punto del barco hasta provocar fuego.

Para lograr este efecto, Arquímedes descubrió que si ubicaba todos los espejos formando una parábola, los rayos del sol se reflejan concentrándose en un solo punto, llamado foco. Este fenómeno, llamado propiedad focal de la parábola, permite actualmente la construcción de antenas, radares y telescopios.

LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Concepto: Una ecuación de 2° grado o ecuación cuadrática, con una incógnita es aquella que, una vez ordenada, se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 a, b, c ϵ IR, a ≠ 0 Los coeficientes de la ecuación cuadrática son a, b, y c a: coeficiente del término de grado 2 b: coeficiente del término de grado 1 c: coeficiente del término de grado 0. (término libre o independiente)

a = 5 coeficiente del término 5x2 b = -12 coeficiente del término -12x c = 3 término libre ( coef. Del término 3x0 ) Ejemplo: 5x2 - 12x + 3 = 0 …ahora veremos algunos ejemplos de ecuaciones de 2° grado: 1. 3x2 + 4x - 8 = 0 a = 3 , b = 4 , c = -8 a = 5 , b = 2 , c = 0 2. 5x2 + 2x = 0 Coef. a , b y c a = 1 , b = -1 , c = 1 3. x2 - x + 1 = 0 a = 1 , b = 0 , c = -25 4. x2 - 25 = 0 a = ? , b = ? , c = ? 5. ( x – 2 )2 = ( 2x – 1 )2 a = ? , b = ? , c = ? 6. 3x( x – 1 ) - 2x = 0 …las dos últimas ecuaciones no están ordenadas a la forma ax2 + bx + c = 0 DESAFIO ¿te atreves a ordenarlas? ¿cómo lo harías?

En general, se acostumbra que el coeficiente a sea positivo, por razones prácticas. En caso que aparezca negativo, la ecuación se multiplica por -1, obteniéndose una ecuación equivalente. La ecuación sólo ha cambiado su forma de presentación. / •(-1) Ejemplo: -3x2 + 2x - 5 = 0 3x2 - 2x + 5 = 0

Tipos de ecuaciones de segundo grado Una ecuación de 2° grado en la que aparecen los tres términos, se llama completa ( a, b y c son distintos de cero ). Por el contrario, si falta el término de primer grado, el término libre, o ambos a la vez, la ecuación es incompleta ( a ≠ 0, b = 0 ó c = 0 ) El siguiente esquema muestra los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas: General ax2 + bx + c = 0 5x2 - 2x + 3 = 0 Completa ( a ≠ 0 ) Particular x2 + bx + c = 0 x2 + 3x + 1 = 0 ( a = 1 ) Binomial ax2 + bx = 0 3x2 + 2x = 0 ( c = 0 ) Incompleta ( a ≠ 0 ) Pura ax2 + c = 0 4x2 - 18 = 0 ( b = 0 )

Ejemplos Ordenar cada ecuación a la forma ax2 + bx + c = 0 e identificarla: 7x2 + 10 = 74 + 3x2 5 ( x – 2 ) = 3x ( x – 1 ) 4x ( 1 – x ) = 2 ( x – 3 ) 3 ( x – 1 ) = ( x – 2 )2 5 ( x – 1 ) – 3x ( x – 2 ) + 5 = 0

Practicando lo Aprendido (Autoevaluación) Resolver los ejercicios que siguen aplicando los conocimientos matemáticos aprendidos: 1. 4x2 = 7 x + 2 2. ( 3 – x ) ( x + 2 ) = 2x + 5 3. ( 3x + 1 )2 = 5x - 4 4. ( 7x + 3 ) = 2x( x + 1 ) 5. 3( x – 2 )2 - 4 ( x – 1 ) = 4x2

PAUTA DE CORRECCIÓN 1. 4x2 = 7 x + 2 4x2 – 7x – 2 = 0 ¡ CG ! 2. ( 3 – x ) ( x + 2 ) = 2x + 5 x2 + x – 1 = 0 ¡ CP ! 3. ( 3x + 1 )2 = 5x - 4 9x2 + x +5 = 0 ¡ CG ! 4. ( 7x + 3 ) = 2x( x + 1 ) 2x2 – 5x -3 = 0 ¡ CG ! 5. 3( x – 2 )2 - 4 ( x – 1 ) = 4x2 x2 + 16x – 16 = 0 ¡ CG !