UNIVERSIDAD AUTÓNOMA SAN FRANCISCO LIC. SUJEY HERRERA RAMOS

Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. El vector y=  1v1+  2v  nvn donde los coeficientes son escalares será llamada combinación lineal de S.

Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. S es linealmente independiente si  1v1+  2v  nvn=0 tiene como única solución la trivial. De lo contrario se llamarán linealmente dependientes.

Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Si S es linealmente independiente, entonces el espacio creado por S será llamado espacio generado por S.

Dependencia e independencia lineal Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Para mostrar si es linealmente independiente se resuelve la ecuación: [v1 v2... vn] =0 11 22... nn

Dependencia e independencia lineal Entonces ya podemos aplicar Gauss para resolver el sistema y ver su solución Si la matriz [v1...vn] es de rango n entonces tiene solución única Si la matriz [v1... vn] es de rango menor a n, entonces tiene más de una solución.

Dependencia e independencia lineal Ejemplos en clase

Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Sea (V,F) un espacio vectorial, entonces el conjunto S={v1, v2,...vn} será una base para (V,F) si S genera (V,F). S es linealmente independiente S genera (V,F)

Bases, Dimensión y coordenadas ejemplos de bases en diferentes espacios

Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si z es una C.L. (combinación lineal) de los vectores x 1,...,x r ; y xi es una C.L. de los vectores y 1,...,y s. Entonces z es una C.L. de los vectores y 1,...,y s. z=a 1 x a r x r z=a 1 (b 11 y b 1s y s )+...+a r (b r1 y b rs y s ) Es una propiedad de transitividad

Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si algunos vectores x1,...,xn son linealmente dependientes (L.D.) entonces todo el sistema x 1,...,x n son L.D. Suponer que x 1,...,x k (k<n) son L.D.  a 1 x a k x k =0 con ai diferente de nulo.  a 1 x a k x k +0x k x n =0 es solución y el sistema es L.D.

Bases, Dimensión y coordenadas La base B={v1,..., vn} es un conjunto, pero tiene un orden para facilitar trabajos futuros. Representación. Un vector v se puede reescribir en términos de una base. v=  1 v1+  2 v  n vn, a donde 11 22... nn Es la representación del vector Coordenadas

Bases, Dimensión y coordenadas Ejemplos de representación de vectores

Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. La representación del vector es única v=  1v1+  2v  nvn=  1’v1+  2’v  n’vn  (  1-  1’)v (  n-  n’)vn=0  base  L.I. entonces la única solución es cero  (  i-  i)=0   i=  i’

Bases, Dimensión y coordenadas Notita. El teorema anterior es cierto si dice que z=a 1 x a k x k los ai son únicos ssi los xi son L.I.

Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Sea (V,F) un espacio vectorial. Dos subespacios de (V,F); (V1,F) y (V2,F) se dicen equivalentes si los vectores de uno se pueden escribir como C.L. del otro y viceversa.

Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. Suponer que B={v1,...,vp} es una base para (V,F) y suponer que D={u1,...,uq} es un subconjunto L.I. en (V,F), entonces q  p Demostración. Como B es una base, entonces ui  D,(V,F) se puede expresar como una C.L. de B 

Bases, Dimensión y coordenadas S1={u1,e1,...,ep} es L.I.  Existe un vector que es C.L. de los anteriores, digamos que es ei. Por transitividad el resto {u2,...,uq} es una C.L. de S1-{ei} y se puede aplicar el mismo procedimiento Como se observa el procedimiento no puede eliminar todos los vp vectores antes de que los ui vectores se hayan agotado y q  p.

Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. Número de vectores en la base. Suponer que para un espacio (V,F) se tiene una base con p vectores. Entonces todas las bases tienen p vectores. Demo. Aplicar teorema anterior suponiendo que se tiene otra base con q vectores.  q  p. Aplicar partiendo de la base con q vectores  p  q  q=p.

Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Al número de vectores en la base de un espacio (V,F) se le llama dimensión de (V,F). En especial, todos los subespacios equivalentes también tienen un conjunto de vectores que lo generan (ya que son un espacio en sí) y se tiene una base y por tanto también tienen su dimensión. En tal caso es más adecuado hablar de rango que de dimensión, ya que podemos hablar de un subespacio en R 3, pero de rango 2. A su vez, a la dimensión del espacio completo se le puede llamar rango, pero es mejor hablar de dimensión.

Bases, Dimensión y coordenadas El espacio R n tiene timensión n. Si la dimensión de un espacio es p  cualquier conjunto con s vectores s>p es L.D. En efecto, la base tiene p vectores y el resto será una C.L. de la base.

Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. Un espacio tiene dimensión finita k ssi k es el maximo número de vectores que se pueden obtener en el espacio. Demo. Si la dimensión es k  la base tiene k vectores  son L.I. y cualquier otro es una C.L. de la base (ya no es L.I.). Si el máximo número de vectores L.I. es k  estos generan todo el espacio y por tanto es una base  k es la dimensión.

Bases, Dimensión y coordenadas Ok, regresemos a la representación de vectores B1={ } =

Bases, Dimensión y coordenadas El mismo vector en otra base B2={ } =

Bases, Dimensión y coordenadas Si el mismo vector se puede representar en diferentes bases, ¿se podrá transformar de una en otra? =

Bases, Dimensión y coordenadas = Matriz de cambio de base de B1 a B2

Bases, Dimensión y coordenadas El concepto fácilmente se puede generalizar a cualquier par de bases Lo que es más chido... (P [x] 2,R) una posible base es B={1, x, x 2 } v1=1  en la base 1 0 0

Bases, Dimensión y coordenadas v2=x  en la base v3=x

Bases, Dimensión y coordenadas v4=1-x v5=3+x v6=-2+2x+x 2 v7=2+3x+7x 2 ¿Son L.I.?  ¡¡¡Todo cambia a matrices!!!