Espacios Vectoriales Las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII. Alrededor de 1636, Descartes y.

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2 Espacios Vectoriales

3 Las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII. Alrededor de 1636, Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana. Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores. El origen de la definición de los vectores es de Giusto Bellavitis como segmento orientado. Giuseppe Peano (1858 - 1932) El matemático italiano G. Peano en 1888 dió la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en diferentes ramas de la matemática y las ciencias. La II Conferencia Internacional de Matemáticas (1900) fue precedida por la I Conferencia Internacional de Filosofía donde Peano fue miembro del comité de dirección. Presentó un artículo acerca de “¿Cómo se define una definición?”, que fue uno de sus principales intereses filosóficos por el resto de su vida. Ahí conoció a B. Rusell que quedó tan impresionado y dejó la conferencia para estudiar el texto de Peano. Hizo avances en áreas de análisis, fundamentos y lógica, contribuyó en ecuaciones diferenciales y análisis vectorial y jugó rol central en la axiomatización de las matemáticas y el desarrollo de la lógica matemática. Enseñó en la Universidad de Turín hasta un día antes de su muerte, el 20 de abril de 1932. "Él [Peano] fue un hombre a quién admiré mucho desde el momento en que lo conocí por primera vez en 1900 en el Congreso de Filosofía, a la que él dominaba por la exactitud de su mente." — B. Russell, (1932) G. Peano nació en una granja, en el Piamonte. Ingresó a la U. de Turín en 1876 y se graduó con honores en 1880. Su primer trabajo importante fue un libro sobre cálculo, atribuido a A. Genocchi publicado en 1884. Tres años después, publicó su primer libro sobre lógica matemática en el que fue el primero en usar los símbolos modernos para la unión e intersección de conjuntos. En 1898 presentó una nota acerca del sistema de numeración binario y su capacidad para ser usado representando los sonidos de las lenguas.

4 1) Determinar si (R 2, , R,  ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por : a) (a, b)  (c, d) = (a + c, b + d)  (a, b), (c, d)  R 2 k  (a, b) = (k  a, k  b)  k  R   (a, b)  R 2 b)(a, b)  (c, d) = (a + c, b + d)  (a, b), (c, d)  R 2 k  (a, b) = (a, a)  k  R   (a, b)  R 2 c)(a, b)  (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2)  (a, b), (c, d)  R 2 k  (a, b) = (k  a, k  b)  k  R   (a, b)  R 2 2) Dados los siguientes subconjuntos de R 2 y R 3 a) { (x, y) / x = y }b) { (x, y) / y = 2 } c) { (x, y) / y + x = 3 }d) { (x, y) / x = y / 2 } e) {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3)} f) { (x, y, z) / z = 0 }g) { (x, y, z) / y = 1 } h) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }i) { (x, y, z) / x + y = 1 } Representar gráficamente los conjuntos dados y establecer cuáles de ellos son subespacios de R 2 o de R 3 según corresponda, justificando la respuesta.

5 3) a) En R 3 verificar que el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de los vectores siendo los escalares : a = 2 ; b= 3 y c = 1. b) Expresar los vectores como combinación lineal de los versores 4) Determinar analíticamente si los siguientes conjuntos de vectores constituyen una base de R 2, justificando la respuesta. a) A = { (1, 2) ; (-2, 1) }b) B = { (1, 2) ; (2, 4) } c) C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) }d) D = { (0, 0) ; (2, 1) } 5) Dados los vectoresde R 2 : a) Verificar que el conjuntoes una base de R 2 b) Hallar en la base las coordenadas del vector

6 6) Sean los conjuntos de vectores a) { (x, y) / x = y }b) { (x, y) / x = y / 2 } c) { (x, y, z) / z = 0 }d) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } i) Determinar por lo menos dos bases distintas en cada sub espacio ii) Determinar la dimensión de cada sub espacio

7 Espacio Vectorial Para que (V, *, K,  ) sea espacio vectorial 1)  x  V,  y  V x * y  V Ley de cierre para * composición interna en V 2)  x,  y,  z : x, y, z  V  (x * y) * z = x * (y * z)Asociativa para * 3)  0  V /  x : x  V  x * 0 = 0 * x = xExiste Elemento Neutro para * 4)  x  V,  x´  V / x * x´ = x´ * x = 0Existe Elemento Inverso para * Si x  V e y  V y  es un escalar del cuerpo K 5)  x,  y : x, y  V  x * y = y * xConmutativa para * Hasta aquí se verificaron condiciones en V respecto de *, que hacen de (V, *) un grupo abeliano Ahora en las restantes condiciones analizaremos el comportamiento de las operaciones * y  entre elementos de V y de K se debe verificar que: 1 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c

8 6)  x  V,    V   x  V Ley de cierre 7)  x  V,  ,    K :   (   x) = (    )  xAsociativa 8)  x,  y  V,    K :   (x * y) =   x *   y  es distributiva con respecto a * 9)  x  V,  ,    K : (  *  )  x =   x *   x 10)  x  V :  x  1 = 1  x = xEl elemento neutro de  es el 1 de K 1 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c

9 1 a) Determinar si (R 2, , R,  ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por : a) (a, b)  (c, d) = (a + c, b + d)  (a, b), (c, d)  R 2 k  (a, b) = (k · a, k · b)  k  R,  (a, b)  R 2 1)  (a, b), (c, d)  R 2 (a, b)  (c, d) = (a + c, b + d)  R 2 L.C.I. 2)  (a, b), (c, d), (e, f)  R 2 : [(a, b)  (c, d)]  (e, f) = (a, b)  [(c, d)  (e, f)] [(a, b)  (c, d)]  (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f) (a, b)  [(c, d)  (e, f)] = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f)Asociativa 3)  (e 1, e 2 )  R 2 /  (a, b) : (a, b)  R 2  (a, b)  (e 1, e 2 ) = (a + e 1, b + e 2 ) = (a, b) 4)  (a, b) : (a, b)  R 2,  (a´,b´)  R 2 / (a  a´, b  b´) = (e 1, e 2 ) 5)  (a, b); (c, d) : (a, b); (c, d)  R 2  (a, b)  (c, d) = (c, d)  (a, b) Existe Elemento Neutro para  Existe Elemento Inverso para  Conmutativa para  1 b 1 b 1 c 1 c

10 7)  a, b)  R 2,  ,    R :   [   (a, b)] =  · [ (  · a,  · b)] = (  ·  · a,  ·  · b) = (  ·  ) · (a, b) 8)  (a, b),  (c, d)  R 2,    R :   [(a, b)  (c, d)] =  · [(a + c, b + d)] = [  · (a + c),  · (b + d)] = (  · a +  · c,  · b +  · d) = = (  · a,  · b) + (  · c,  · d) = [  · (a, b)] + [  · (c, d)]  Es distributivo con respecto de en R 2  9)  (a, b)  R 2,  ,    R : (    )  (a, b) = [(  +  ) · a, (  +  ) · b] = [(  · a +  · a), (  · b +  · b)] = [(  · a,  · b) + (  · a,  · b)] = [   (a, b)]  [   (a, b)]  Es distributivo con respecto de * en K 10)  1  R 2 /  (a, b) : (a, b)  R 2  1  (a, b) = (1 · a, 1 · b) = (a, b) 6)  (a, b)  R 2,    R   (a, b) = (  · a,  · b)  R 2 Es Espacio Vectorial Se verifican todas las condiciones Es Espacio Vectorial Ley de cierre para  con un escalar Asociativa para  con R 2 y R Existe Elemento Neutro para 

11 1 b) Determinar si (R 2, , R,  ) es un espacio vectorial con las operaciones  y  definidas por : (a, b)  (c, d) = (a + c, b + d)  (a, b), (c, d)  R k (a, b) = (a, a)  k  R   (a, b)  R 2 La operación  definida en R 2 es la misma que la del ejercicio anterior, por tanto las primeras cinco condiciones se verifican, estudiaremos las restantes 7)  (a, b)  R 2, ,   R :   [   (a, b)] =   [(   a,   b)] =   (a, a) = (a, a) (    )  (a, b) = [(    )  a, (    )  b] = (a, a) Asociativa para  con R 2 y R 8)  (a, b),  (c, d)  R 2,   R :   [(a, b)  (c, d)] =   [(a + c, b + d)] = [   (a + c),   (b + d)] = (a + c, a + c) =[   (a, b)    (c, d)] = (a, a) + (c, c) = (a + c, a + c)  Es distributivo con respecto de * en R 2 6)  (a, b)  R 2,   R   (a, b) = (   a,   b) = (a, a)  R 2 Ley de cierre para  con un escalar 9)  (a, b)  R 2, ,   R : (    )  (a, b) = [(  +  )  a, (  +  )  b] = (a, a) (  *  )  (a, b) = [   (a, b)] + [   (a, b)] = (a,a) + (a,a) = (a + a, a + a )  NO Es distributivo con respecto de * en R Pero (a, a)  (a + a, a + a) No se verifica esta condición NO Es Espacio Vectorial 1 c 1 c

12 1 c) Determinar si (R 2, , R,  ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por : (a, b)  (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2)  (a, b), (c, d)  R 2 k (a, b) = (k · a, k · b)  k  R   (a, b)  R 2 1)  (a, b), (c, d)  R 2  R 2 L.C.I. 2)  (a, b), (c, d), (e, f)  R 2 : [(a, b) * (c, d)] * (e, f) = (a, b) * [(c, d) * (e, f)] pero  * NO Es Asociativa en R 2 NO Es Espacio Vectorial NO Es Espacio Vectorial

13 Subespacios Dado un espacio vectorial (V, *, K,  ) y el conjunto no vacío S  V S es un sub conjunto del conjunto V Si S es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K y con las mismas leyes de composición interna que en V (S, *, K,  ) es un subespacio de (V, *, K,  )ó S es subespacio de V Escribimos de otra manera : Si1) S   2) x  S  y  S  x + y  S 3)   R  x  S   x  S Si (S, *, K,  ) es un subespacio de (V, *, K,  ) (S, *) es un sub grupo de (V, *) entonces el elemento neutro pertenece a S 2 a 2 a 2 b - c 2 b - c 2 d 2 d 2 e 2 e 2 i 2 i 2 g - h 2 g - h 2 f 2 f

14 2 a) Si A = { (x, y)  R 2 / x = y } Representamos gráficamente xy = xy 4 4 = 4 4 2 2 = 2 2 1) A   2) Si 3) Si pero pero A es sub espacio de R2 cerrada para la suma cerrada para el producto por un escalar Para analizar si A es subespacio, verificamos que se cumplan las tres condiciones suficientes para que un conjunto sea subespacio. Pero previamente verificamos que el vector nulo pertenezca al conjunto A Efectivamente (0,0)  A con con 2 i 2 i 2 g - h 2 g - h 2 f 2 f 2 e 2 e 2 d 2 d 2 b - c 2 b - c

15 2 b) B = { (x, y) / y = 2 } Representamos gráficamente xy = 2y 2 2 2 4 2 2 - 6 2 2 Antes de analizar si es subespacio verificamos si el vector nulo pertenece al conjunto B Pero (0,0)  B B NO es sub espacio de R2 2 c) C = { (x, y) / y + x = 3 } xy = -x + 3y 2 - 2 + 3 1 6 - 6 + 3 -3 Pero (0,0)  CC NO es sub espacio de R2 2 i 2 i 2 g - h 2 g - h 2 f 2 f 2 e 2 e 2 d 2 d

16 2 d) D= { (x, y) / x = y / 2 } para representar gráficamente, haciendo pasajes de términos, busco la forma y = f(x) Ahora puedo confeccionar tabla de valores y representar gráficamente xy = 2xy 2 2  2 4 4 4  2 8 1) D   2) Si 3) Si luego pero El nulo (0,0)  D porque 0 = 2  0 cerrada para la suma cerrada para el producto por un escalar D es sub espacio de R 2 con con 2 i 2 i 2 g - h 2 g - h 2 f 2 f 2 e 2 e ¿ podés hacer la interpretación geométrica del producto ?

17 2 e) E = { (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3) } Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan gráficamente en el espacio. Trazamos un par de ejes ortogonales x-y en el plano (como si fuera en el piso de una habitación y a este par de ejes le incorporamos el eje z, perpendicular al plano determinado por x-y en el origen de coordenadas (0,0) Al punto (1,0,0) le corresponde x = 1;y = 0 y z = 0 Al punto (0,1,0) le corresponde x = 0 ;y z = 0 Al punto (0,0,1) le corresponde x = 0 ; y = 0;y z = 1 Al punto (1,2,3) le corresponde x = 1; y = 2y z = 3 Al punto (1,3,-1) le corresponde x = 1; y = 3y z = -1 Al punto (-2,1,4) le corresponde x = -2; y = 1y z = 4 Al punto (-3,-2,5) le corresponde x = -3;y = -2 y z = 5 Al punto (1,-1,1) le corresponde x = 1;y = -1y z = 1 Al punto (2,-2,-3) le corresponde x = 2;y = -2y z = -3 y = 1; E NO es sub espacio de R2 El vector nulo (0,0,0)  E 2 i 2 i 2 g - h 2 g - h 2 f 2 f

18 2 f) F = { (x, y, z) / z = 0 } Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan gráficamente en el espacio. Pertenecen al conjunto vectores como: (2, 1, 0); (-1, 2, 0); (6, -1, 0) al ser siempre la última componente 0 (z = 0) Todos los vectores del conjunto F están en el plano x, y 1) F   se verifica 2) cualquier punto del plano x, y  F 3) si  = 2 (puede tomar cualquier otro valor) también el vector nulo (0,0,0)  F  F F ES sub espacio de R2 2 i 2 i 2 g - h 2 g - h

19 2 g) { (x, y, z) / y = 1 } Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan gráficamente en el espacio. Pertenecen al conjunto vectores como: (2, 1, 0); (-1, 1, 0); (6, 1, 0) pero el vector nulo (0,0,0)  F y cualquier otro vector que verifique y= 1 (no importa cuál sea x ó z) F NO es sub espacio de R 3 2 h) { (x, y, z) / x + y = 1 } representamos la recta x + y = 1 Cualquier par de valores de x e y que verifiquen esa ecuación, con cualquier valor de z pertenece al conjunto de vectores por ejemplo (1,0,6); (-1,2,3); etc Pero (0,0,0)  H H NO es sub espacio de R3 2 i 2 i

20 2 i) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan gráficamente en el espacio. Pertenecen al conjunto vectores como: (0, 0, 4); (0, 0, 6); (0, 0, -2) al ser siempre las dos primeras componentes 0 Todos los vectores del conjunto I están contenidos en el eje z 1) I   se verifica 2) 3) también el vector nulo (0,0,0)  I  I I ES sub espacio de R 2

21 Combinación Lineal Una combinación lineal del conjunto de vectores A = {v 1 v 2 v 3... v n } Es cualquier vector v =  1  v 1 +  2  v 2 +  3  v 3...  n  v n con todos los  i  K Por ejemplo: dado el conjunto de vectores v 1 = (3,-1); v 2 = (-4,6); v 3 = (1, 2) El vector v =  1  v 1 +  2  v 2 +  3  v 3 = Si  1 = 3  2 = -2  3 = -1 3  (3,-1) + (-2)  (-4,6) + (-1)  (1,2) = v = (9,-3) + (8,-12) + (-1,-2) =(9 + 8 - 1; - 3 – 12 - 2) = (16; - 17) es combinación lineal de A A = {v 1 v 2 v 3 } donde Si hay alguna combinación lineal no trivial de los vectores del conjunto A, cuyo resultado es el vector nulo, decimos que A es linealmente dependiente Para saber si el conjunto A de nuestro ejemplo es L.D. Debemos plantear : (0, 0) =  1  (3,-1) +  2  (-4,6) +  3  (1,2) =(3  1, -1  1 ) + (-4  2,  2 6) + (  3 1,2) = = (3  1 -4  2 +  3 ; -  1 + 6  2 + 2  3 ) Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

22 Al sistema de ecuaciones Lo resolvemos por sustitución (1) De (1) (2) Reemplazo  3 en (2) y tengo Ponemos  2 en función de  1 Ponemos  3 en función de  1, reemplazando (3) en (3) Así es posible afirmar que para cualquier  1  0 ;  2 y  3 son también distintos de 0 Si  1 = 1 ;  2 = 1/2 y  3 = -1 Con estos escalares es posible establecer una combinación lineal v =  1  v 1 +  2  v 2 +  3  v 3 = El vector nulo es combinación lineal de los vectores del conjunto A Luego, l ll los vectores de A son Linealmente Dependientes con  1  0  2  0 y  3  0

23 3 a) Para verificar si el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de Vamos a averiguar si es posible componer (-1, 2, -1) a partir de la suma de los vectores Previamente multiplicados por escalares a = 2 b = 3 y c =1 Es combinación lineal de 3 b) Para expresar como combinación lineal de escribimos

24 Sistema de Generadores Si un conjunto de vectores A, de un espacio vectorial (V, *, K,  ) es tal que cualquier vector del espacio vectorial puede expresarse como combinación lineal de los vectores del conjunto A Se dice que A es un Sistema de Generadores de V En la práctica, dado un conjunto de vectores A = { v 1 v 2 v 3... v n } Se busca escribir cualquier vector de V, como combinación lineal de los vectores de A Base Un conjunto de vectores A es Base de un Espacio Vectorial si: Los vectores de A son linealmente independientes A es un sistema de Generadores de V Recuerde que los vectores son linealmente independientes, si al establecer una combinación lineal, la única forma de obtener el vector nulo, es que todos los escalares de la combinación lineal sean nulos 4 c 4 c 4 d 4 d 4 b 4 b 4 a 4 a 5 a 5 a 5 b 5 b

25 4 a) Para saber si A = { (1, 2) ; (-2, 1) } es base de R 2, Investigamos la existencia de escalares reales  1 y  2, que permitan escribir cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto A Entonces proponemos un vector cualquiera (x, y)  R 2 y escribimos : Averiguamos si (1, 2) y (-2, 1) son linealmente dependientes, haciendo  1 (1, 2) +  2 (-2, 1) = (0, 0) (  1, 2  1 ) + (-2  2,  2 ) = (0, 0) (  1 -2  2, 2  1 +  2 ) = (0, 0) entonces: Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que  1 =  2 =0. Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es L.D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones. A es linealmente independiente 4 b 4 b 4 d 4 d 4 c 4 c

26 Resolvemos el sistema, aplicando el método de los determinantes donde  1 y  2 son las incógnitas Si dos vectores son iguales, sus componentes son iguales Con los valores hallados de planteamos Vemos que para cada vector (x, y), existirán valores de  1 y  2 A es un Sistema de Generadores de R 2 Por ejemplo si v = ( 3, 1 ) luego ( 3, 1 ) A es una Base de R 2 4 b 4 b 4 d 4 d 4 c 4 c

27 4 b) Para saber si B = { (1, 2) ; (2, 4) } es base de R 2, Averiguamos si (1, 2) y (2, 4) son linealmente dependientes, haciendo  1 (1, 2) +  2 (2, 4) = (0, 0) (  1, 2  1 ) + (2  2, 4  2 ) = (0, 0) (  1 + 2  2, 2  1 + 4  2 ) = (0, 0) entonces: Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que  1 =  2 =0. Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es L.D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones. B es linealmente dependiente B NO es Base 4 d 4 d 4 c 4 c

28 4 c) Para saber si C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) } es base de R 2, verificamos si (1, 3) ; (1/2, -4) y (17/5, 8) son linealmente dependientes,  1 (1, 3) +  2 (1/2, -4) +  3 (17/5, 8) = (0, 0) Tenemos así un sistema homogéneo de dos ecuaciones con tres incógnitas De (2) Reemplazando en (1) De manera que: si  3 = 15 ;  2 = - 6 Los vectores de C son L.D. C NO es una Base de R 2 4 d 4 d

29 4 d) Para saber si D = { (0, 0) ; (2, 1) } es una Base de R 2 Planteamos la siguiente expresión para averiguar si los vectores de A son linealmente dependientes entonces para Los vectores del conjunto A son linealmente dependientes cualquier conjunto de vectores al que pertenece el vector nulo, es linealmente dependiente A NO es una Base de R2

30 Coordenadas de un vector Si es una base de R 2 Cada vector de R 2 puede expresarse como una combinación lineal de A ya que los vectores de A son linealmente independientes y sistema de generadores Precisamente por ser A una base de R 2 Entonces: si v  R 2 existen y son únicos los escalares a y b  R Tal que: v = a · v 1 + b · v 2 Donde a y b se llaman coordenadas del vector v respecto de la base A DIMENSION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL Es el cardinal (número de vectores) de cualquiera de sus bases Por ejemplo B = { (x,y) / x = y } B es subespacio de R 2 Son bases de B { (1, 1) } ;{ (2, 2) } La Dimensión de B es 1 (nº de vectores en cada base de B) 5 a 5 a 6 a 6 a

31 5) Dados los vectoresde R 2 : 5 a) Verificar que el conjunto es una base de R 2 verificamos si (1/2, 2) y (3, 1) son linealmente dependientes,  1 (1/2, 2) +  2 (3, 1) = (0, 0) Tenemos así un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas De (2)Reemplazando en (1) Reemplazando en (2) Los vectores son Linealmente Independientes Investigamos la existencia de escalares reales  1 y  2, que permitan escribir cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto V y escribimos :  1 (1/2, 2) +  2 (3, 1) = (x, y) Base Coordenadas 5 b 5 b

32 Resolvemos el sistema, aplicando el método de los determinantes donde  1 y  2 son las incógnitas Si dos vectores son iguales, sus componentes son iguales Con los valores hallados de planteamos Podemos ver que para cada vector (x, y), existirán valores de  1 y  2 V es un Sistema de Generadores de R 2 V es una Base de R 2 Base Coordenadas 5 b 5 b

33 5 b) Para hallar las coordenadas del vector En la base A = { u; v } donde u = ( ½ ; 2 ) ; v = ( 3, 1 ) Planteamos la siguiente expresión:que resulta A partir de esta expresión por la igualdad de los pares ordenados, planteamos un sistema de dos ecuuaciones con dos incógnitas De (1) Reemplazo a en (2) Si b = -2 Coordenadas

34 6) a) dimensión de { (x, y) / x = y } Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2a) donde ( x, y )  S  ( x, y ) = ( y, y ) Si y = 1( 1, 1 )  S Con { (1, 1) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en la recta x = y con multiplicar el vector por un escalar estableciendo una combinación lineal { (1,1) } es una base de { (x, y) / x = y } Dim (1) Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio { (2,2) } también es base de { (x, y) / x = y } Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede genera cualquier vector que esté contenido en la recta y = x 6 b 6 b 6 d 6 d 6 c 6 c

35 6) b) dimensión de { (x, y) / x = y / 2 } Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2d) donde: ( x, y )  S  ( x, y ) = ( x, 2x ) Si x = 1( 1, 2 )  S Con { (1, 2) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en la recta x = y /2 con multiplicar el vector por un escalar estableciendo una combinación lineal { (1, 2) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 } Dim (1) Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio { (3, 6) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 } Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier vector que esté contenido en la recta y = 2 x 6 d 6 d 6 c 6 c

36 Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2f) ( x, y, z )  S  ( x, y, z ) = ( x, y, 0 ) Si x = 1  y = 4( 1, 4, 0 )  S Con { (1, 4, 0) } NO puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en el plano x,y estableciendo una combinación lineal { (1, 4, 0); (6, 3, 0) } es una base de { (x, y, z) / z = 0 } Dim (2) Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio { (3, 6, 0); (-1, 2, 0) } también es es una base de { (x, y) / x = y / 2 } 6) c) La dimensión de { (x, y, z) / z = 0 } Necesito otro vector, por ejemplo Si x = 6  y = 3( 6, 3, 0 )  S Con { (1, 4, 0); (6, 3, 0) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en el plano x,y Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier vector que esté contenido en el plano (x, y, 0) 6 d 6 d

37 Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2i) ( x, y, z )  S  ( x, y, z ) = ( 0, 0, z ) Si z = 1( 0, 0, 1 )  S Con { (0, 0, 1) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido sobre el eje z estableciendo una combinación lineal { (0, 0, 1) } es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } Dim (1) { (0, 0, 3) } también es es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } 6) d) La dimensión de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier vector que esté contenido en la recta (0, 0, z)

38 Todo esto hecho con entusiasmo puede parecerse a... Un juego de niños Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr. Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr. Toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es primitiva e infantil... y sin embargo es lo más preciado que tenemos. El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta que la ciencia logra abrir. El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta que la ciencia logra abrir. Albert Einstein