Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Profesores Dr Alberto Moretti Dr Eduardo Alejandro Barrio 2do cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas -Johan van Benthem -(L.T.F. GAMUT)

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas - Capacidad Expresiva de los lenguajes de primer orden: En general, hay infinitos modos de interpretar sus fórmulas elementales, modos que no dependen de la asignación finita de valores a las expresiones componentes. Por ejemplo: Dada C a b es posible obtener Cxy Si el D del modelo es infinito, hay infinitas maneras de interpretar Cxy (tantos como pares ordenados que la interpreten) Para poder definir las condiciones veritativas de las fórmulas del lenguaje debemos identificar los mecanismos finitos generadores de infinitas fórmulas elementales. Predicación Cuantificación Ambos mecanismos dependen de la posibilidad de reconocer expresiones suboracionales de categorías distintas (términos singulares y predicados).

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas En los lenguajes de primer orden, hay predicados relacionales n-ádicos. Mecanismo técnico (tarskiano): Los objetos que sean utilizados para satisfacer las fórmulas pueden tener un orden secuencial (infinito, en el caso en que los objetos que se utilicen para interpretar sean infinitos). Sólo si ese orden secuencial es infinito, los cuantificadores de ese lenguaje podrán hablar de infinitos objetos. Las funciones de asignación de objetos (g) son un mecanismo alternativo

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Modelo de primer orden: - Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las oraciones de un lenguaje., V Mg > Todos los componentes no lógicos de las fórmulas de L deben recibir una interpretación: Se le debe asignar un objeto apropiado de D. Ejemplo 1: D: conjunto de los números naturales, I es la función que asigna a la constante 1 el valor 1, a 2 el valor 2, etc, y al predicado P el conjunto de los números pares, etc. Ejemplo 2: D: conjunto de los filósofos, I es la función que asigna a la constante 1 el valor Sócrates, a 2 el valor Platón, etc, y al predicado P el conjunto de los filósofos empiristas, etc.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Sean D: conjunto de entidades no vacío I: función que asigna entidades apropiadas de D a las expresiones de L (i) Si c es una constante de L, entonces I(c ) D (ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P) D n (si n es 1, su interpretación es un conjunto) (si n es 2, su interpretación es un par ordenado) g: asigna valores temporales de D a las variables de L Por ejemplo, Cxy Una asignación g es g(x): Tarski, g(y): Etchemendy V Mg : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D y su función de asignación g es una asignación temporaria en D, entonces [[…]] Mg se define como sigue (i) [[P n (t 1,..., t n )]] Mg = 1 sss I (P n ) (ii) [[ ¬ ]] Mg = 1 sss [[ ]] Mg = 0 (iii) [[ & ]] Mg = 1 sss [[ ]] Mg = 1 y [[ ]] Mg = 1 (iv) (v) y (vi) (vii) [[ x ]] Mg = 1 sss [[ [x/o] ]] M g = 1, para todo objeto o de L (viii) [[ x ]] M = 1 sss [[ [x/o] ]] M g = 1, para algún objeto o de L.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas En la cláusula (i) pueden aparecer variables y constantes de individuos P n (x 1,..., x n ) y P n (c 1,..., c n ) [[t]] Mg, si t es una constante, entonces I (t) si t es una variable, entonces g (t) puede tener variables distintas (x, y, z) Los únicos valores de g de los que depende [[ ]] M g son los que g asigna a las variables que aparecen libres en. (En el caso de la asignación con secuencias, las secuencias S sólo pueden conducir a resultados distintos respecto de fórmulas con variables libres). Cxy, dada una asignación g, hay que considerar una g (idéntica a g), salvo en lo que se le asigna a la variable en consideración. [[Cxy]] Mg´ = 1 sss pertenece a I (C) [[ x Cxy]] Mg = 1 sss hay alguna g´ que [[Cxy ]] M g´ = 1

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas g´ queda definida por g y el valor que g´le asigne a la variable sobre la cual se hace la variante. g[x/o] para g´, si la asignación asigna o a y. Para las fórmulas cerradas [[ ]] Mg = [[ ]] M Con respecto a las fórmulas cerradas, la cuestión respecto de las asignaciones es todo o nada: si en una asignación g la fórmula es verdadera, lo es en toda asignación. Las fórmulas o son verdaderas para todas las asignaciones o no lo son por ninguna. (O bien una fórmula cerrada es satisfecha por toda secuencia o no lo es por ninguna). Ejemplo: Supongamos que x Cx resulta verdadera en el modelo M bajo la asignación g. Si hubiera una asignación g´ en la cual x Cxresultara falsa, entoces por la regla del cuantificador existencial, tendría que haber resultado falsa también para la asignación g.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Validez Universal Si [[ ]] M g = 1 para todo modelo M y asignación temporal g del lenguaje del cual se toma. Implicación Lógica S es una implicación lógica de K sss para toda valuación de M y toda asignación temporal g, si [[K]] M g = 1, entonces [[S]] M g = 1 Equivalencia Lógica S y K son lógicamente equivalentes sss para toda valuación de M y toda asignación temporal g, [[K]] M g = [[S]] M g

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Presentaciones actuales de la semántica de Modelos (Modelos variables) Las fórmulas cerradas son parte de un lenguaje formal no interpretado La interpretación se realiza por medio de estructuras conjuntistas Modo de interpretación: estructura o modelo Cada modelo posee un dominio de interpretación (un conjunto no vacío) Cada modelo posee una asignación (que puede variar de modelo en modelo) y un dominio (que puede variar de modelo en modelo) Ejemplos de dominios: el conjunto de los números naturales, el de los perros de caballito, el de los alumnos del seminario, etc.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Terminologías alternativas I Ф (g) Se lee como: La secuencia g satisface F (una función oracional) con respecto al modo de interpretación I U Ф (g) La secuencia g satisface F (una función oracional) con respecto a la estructura U. M Ф (g) La secuencia g satisface F (una función oracional) con respecto al modelo M.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas [[ ]] M,g Es lo mismo que M Ф (g) El valor semántico de la oración cerrada que reemplaza la función oracional. Ese valor es producto de asignar los objetos apropiados a las constantes no lógicas que figuren en en el modelo M y los objetos temporales asignados por g a las variables originales que figuren en. [[ T(Alfred) ]] M,g El valor semántico de T(Alfred). Ese valor es producto de asignar a Alfred el objeto Tarski integrante del D del modelo M y determinar si este está incluido en el conjunto de los objetos que en el dominio del modelo M son teóricos de modelos.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Bibliografía Clásica de teoría de Modelos Hodges W. Elementary Predicate Logic en Gabbay y Guenthner Handbook of Philosophical Logic. A Shorter Model Theory Truth in structure Chang & Keisler Model Theory

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Alfred Tarski

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Condición de adecuación para un análisis de la noción de consecuencia lógica Condición (F): Si K S, el argumento de K a X tiene la siguiente propiedad: (F) Si, en las oraciones del conjunto K y en la oración X, las constantes aparte de las constantes puramente lógicas son sustituidas por cualesquiera otras constantes (con los mismos signos siempre sustituidos por los mismos signos), y si llamamos K ' al conjunto así obtenido a partir de K, y X ' a la oración obtenida a partir de X, entonces la oración X' debe ser verdadera dado solamente que todas las oraciones de K' sean verdaderas (Tarski (1936), p. 415).

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Tres enfoques acerca de la noción de interpretación (i) como substituciónreinterpretar reemplazando una constante por otra en el contexto de una oración T(Alfred)TxT(John) Formula cerradaFunción oracionalNueva Fórmula cerrada (ii) como asignación Asignar objetos apropiados (extensiones) a las constantes no lógicas de L Reinterpretar la función oracional asociada con la fórmula cerrada de manera tal que se asigne un valor apropiado (objeto a las constantes de individuos y conjuntos a los predicados) a cada constante no lógica de L (A) con dominio fijola asignación se hace a partir de un único dominio de objetos (B) con dominio variable la asignación se hace a partir de diferentes dominios de objetos

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Propuesta tarskiana : K S cuando toda interpretación en que todas las oraciones de K son verdaderas es una interpretación en que X es verdadera. (Cuando toda interpretación preserva la verdad de las premisas en la conclusión.) Se amplia el requisito expresado por la condición (F) de forma que se incorpore la idea de que un argumento lógicamente correcto no puede ser reinterpretado haciéndose verdaderas las premisas y falsa la conclusión (y no meramente la idea de que no puede ser convertido en un argumento con premisas verdaderas y conclusión falsa sustituyendo constantes por constantes).

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Diferencias entre las nociones de verdad y verdad en una interpretación Definiciones absolutas vs definiciones relativas (a un modo de interpretar) Un modo de interpretar es una estructura (compuesta por valores y una función que asigna valores) Estructura de la definición de verdad en una interpretación para un lenguaje finito {s1, s2,..., sn }: conjunto finito de todas las oraciones del lenguaje Definición adecuada de verdad: x es verdadera en una interpretación ssi (x = 's1' y s1 recibe V en esta I ) o (x = 's2' y s2recibe V en esta I ) o (x = 's3' y s3 recibe V en esta I) o... (x = 'sn' y sn recibe V en esta I ) o

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas La secuencia finita f de objetos satisface el predicado x 2 x 3 sss el objeto ubicado en el segundo lugar de la secuencia f tiene con el objeto ubicado en el tercer lugar de la secuencia. Si x 2 x 3 tiene como interpretación pretendida x 2 es discípulo de x 3 la secuencia f no satisface la función formular x 2 x 3 En cambio, lo hace la secuencia g Para permitir que los cuantificadores hablen acerca de conjuntos infinitos, se introduce el concepto La secuencia infinita f de objetos satisface el predicado

Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales El Concepto de Satisfacción - Construir un concepto más general que el de verdad (que sea aplicable tanto a oraciones como a oraciones abiertas) a partir del cual definir verdad 1.- T(Alfred)Tx [x/Alfred] Oracion cerradaFuncion oracional 2. La interpretacion I sat T(Alfred) con respecto f sss el objeto que esta I asigna a Alfred sat Tx Hay distintas I para T(Alfred) I1= TarskiI2= EtchemendyI3= el 1 3. Generalizacion Tx La I sat T(Alfred) con respecto de f sss el objeto que I asigna al nombre Alfred y el conjunto que asigna a T sat Tx Nuevamente, hay distintas I para T(Alfred) 4.- C(John, Alfred) La I sat C (John, Alfred) con respecto de f sss el objeto que I asigna al nombre John y el que asigna al nombre Alfred, ordenados… Sat Cxy x 1 T x 1 La I sat x 1 T x 1 con respecto de f sss Hay una secuencia g identica a f, salvo en el primer lugar que satisface T x 1

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Definición: La interpretación I Sat la función oracional X sss la I Sat la función formular con respecto a toda secuencia f que asigna valores a las variables de L. Observaciones: Las interpretaciones se utilizan para asignar valores a las constantes no lógicas de L Las secuencias se utilizan para asignar valores temporales a las variables que aparecen en las funciones formulares. Un L que no contenga cuantificadores no necesita de secuencias Para las fórmulas cerradas vale que si una secuencia la satisface, la satisfacen todos las secuencias. Las fórmulas abiertas pueden ser satisfechas por algunas secuencias y no serlo por otras.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas El enfoque tarskiano y el enfoque modelo teórico (con dominios variables) son equivalentes (con respecto a las teorías de primer orden)