Seminario: Todo Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2006 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

Seminario: Todo L es un lenguaje de primer orden. (1) Él está criticando a todos ellos (2) Él está criticando a todos los teóricos de modelos (1) y (2) no son ni verdaderas ni falsas, ya que falta información. Una Interpretación es una asignación de valores semánticos a (1) y a (2), de manera tal ambas adquieran un valor de verdad. Un modo de interpretar (1) es asignar a Él el valor Etchemendy y a ellos la colección de profesores del MIT. Un modo de interpretar (2) es asignar a Él el valor Tarski y circunscribir el alcance del cuantificador universal a la colección de los teóricos de modelos del MIT Una interpretación que hace verdadera a (1) o a (2) es un modelo. MODELOINTERPRETACIÓN VERDADERA

Seminario: Todo La interpretación I Satisface la fórmula (1) I es un modelo de (1) I (1) I Ф (g) Se lee como: La secuencia g satisface Ф (una función oracional) con respecto al modo de interpretación I U Ф (g) La secuencia g satisface F (una función oracional) con respecto a la estructura U. M Ф (g) La secuencia g satisface F (una función oracional) con respecto al modelo M.

Seminario: Todo [[ ]] M Es lo mismo que M Ф El valor semántico de la oración cerrada. Ese valor es producto de asignar los objetos apropiados a las constantes no lógicas que figuren en en el modelo M. [[ T(Alfred) ]] M Es lo mismo que M T(Alfred) El valor semántico de T(Alfred). Ese valor es producto de asignar a Alfred el objeto Tarski integrante del D del modelo M y determinar si este está incluido en el conjunto de los objetos que en el dominio del modelo M son teóricos de modelos.

Seminario: Todo Modelo para L (como estructura), V M > Un dominio apropiado para L D = {Tarski, Carnap, Etchemendy} Una función de interpretación I (Alfred) = Tarski I (Rodolf) = Carnap I (John) = Etchemendy I (T) = {Tarski} etc… (T) T (Alfred) es verdadera ssi I (Alfred) I (T) sss Tarski al conjunto de los teóricos de modelos Tarski es un teórico de modelos

Seminario: Todo Modelo de primer orden: - Para determinar el valor de verdad de cualquier oración necesitamos saber de qué estamos hablando. - El dominio de discurso indica acerca de qué estamos hablando y la función de interpretación pone en relación este dominio con el lenguaje. - Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las oraciones de un lenguaje., V M > Toda oración de L debe recibir una interpretación (se le debe asignar un objeto apropiado de D)

Seminario: Todo Restricción simplificadora: todos los objetos de D tienen nombre Se reduce la verdad en M de x y de x a la verdad en M de [o/x] Sean D: conjunto de entidades I: función que asigna entidades apropiadas de D a las expresiones de L (i) Si c es una constante de L, entonces I(c ) D (ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P) D n (si n es 1, su interpretación es un conjunto) [[c/x]] M = reemplace x por o. V M : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D, entonces V M se define como sigue

Seminario: Todo (I) [[P n (c 1,..., c n )]] M = 1 sss [[P n ]] M (ii) [[ ¬ ]] M = 1 sss [[ ]] M = 0 (iii) [[ & ]] M = 1 sss [[ ]] M = 1 y [[ ]] M = 1 (iv) [[ x ]] M = 1 sss [[ [c/x] ]] M = 1, para toda constante c de L (v) [[ x ]] M = 1 sss [[ [c/x] ]] M = 1, para alguna constante c de L.

Seminario: Todo Implicación Lógica S es una implicación lógica de K sss para toda valuación de M, si [[K]] M = 1, entonces [[S]] M = 1 Equivalencia Lógica S y K son lógicamente equivalentes sss para toda valuación de M, [[K]] M = [[S]] M

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Modelo de primer orden: - Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las oraciones de un lenguaje., V Mg > Todos los componentes no lógicos de las fórmulas de L deben recibir una interpretación: Se le debe asignar un objeto apropiado de D. Ejemplo 1: D: conjunto de los números naturales, I es la función que asigna a la constante 1 el valor 1, a 2 el valor 2, etc, y al predicado T el conjunto de los números pares, etc. Ejemplo 2: D: conjunto de los filósofos, I es la función que asigna a la constante 1 el valor Tarski, a 2 el valor Etchemendy, etc, y al predicado T el conjunto de los teóricos de modelos, etc.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Sean D: conjunto de entidades no vacío I: función que asigna entidades apropiadas de D a las expresiones de L (i) Si c es una constante de L, entonces I(c ) D (ii) Si P es una letra n-aria de L, entonces I(P) D n (si n es 1, su interpretación es un conjunto) (si n es 2, su interpretación es un par ordenado) g: asigna valores temporales de D a las variables de L Por ejemplo, Cxy Una asignación g es g(x): Tarski, g(y): Etchemendy V Mg : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D y su función de asignación g es una asignación temporaria en D, entonces [[…]] Mg se define como sigue (i) [[P n (t 1,..., t n )]] Mg = 1 sss I (P n ) (ii) [[ ¬ ]] Mg = 1 sss [[ ]] Mg = 0 (iii) [[ & ]] Mg = 1 sss [[ ]] Mg = 1 y [[ ]] Mg = 1 (iv) (v) y (vi) (vii) [[ x ]] Mg = 1 sss [[ [x/o] ]] M g = 1, para todo objeto o de L (viii) [[ x ]] M = 1 sss [[ [x/o] ]] M g = 1, para algún objeto o de L.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas En la cláusula (i) pueden aparecer variables y constantes de individuos P n (x 1,..., x n ) y P n (c 1,..., c n ) [[t]] Mg, si t es una constante, entonces I (t) si t es una variable, entonces g (t) puede tener variables distintas (x, y, z) Los únicos valores de g de los que depende [[ ]] M g son los que g asigna a las variables que aparecen libres en. (En el caso de la asignación con secuencias, las secuencias S sólo pueden conducir a resultados distintos respecto de fórmulas con variables libres). Cxy, dada una asignación g, hay que considerar una g (idéntica a g), salvo en lo que se le asigna a la variable en consideración. [[Cxy]] Mg´ = 1 sss pertenece a I (C) [[ x Cxy]] Mg = 1 sss hay alguna g´ que [[Cxy ]] M g´ = 1

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas g´ queda definida por g y el valor que g´le asigne a la variable sobre la cual se hace la variante. g[x/o] para g´, si la asignación asigna o a y. Para las fórmulas cerradas [[ ]] Mg = [[ ]] M Con respecto a las fórmulas cerradas, la cuestión respecto de las asignaciones es todo o nada: si en una asignación g la fórmula es verdadera, lo es en toda asignación. Las fórmulas o son verdaderas para todas las asignaciones o no lo son por ninguna. (O bien una fórmula cerrada es satisfecha por toda secuencia o no lo es por ninguna). Ejemplo: Supongamos que x Cx resulta verdadera en el modelo M bajo la asignación g. Si hubiera una asignación g´ en la cual x Cxresultara falsa, entoces por la regla del cuantificador existencial, tendría que haber resultado falsa también para la asignación g.

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Validez Universal Si [[ ]] M g = 1 para todo modelo M y asignación temporal g del lenguaje del cual se toma. Implicación Lógica S es una implicación lógica de K sss para toda valuación de M y toda asignación temporal g, si [[K]] M g = 1, entonces [[S]] M g = 1 Equivalencia Lógica S y K son lógicamente equivalentes sss para toda valuación de M y toda asignación temporal g, [[K]] M g = [[S]] M g

Seminario: Interpretaciones y Modelos Conjuntistas Problemas: Al dar una definición de verdad en un modelo, se utiliza la teoría de conjuntos. Tomemos una teoría de primer orden, cuyo lenguaje sea set. ¿Es posible construir un modelo conjuntista para set? ¿Cuál sería un dominio apropiado para esa teoría? ¿Es posible que ese dominio forme un conjunto? ¿Cuál sería el rango de los cuantificadores de L en este modelo? ¿Sería posible encontrar un dominio capaz de incluir a TODOS los conjuntos? Si no hubiera un conjunto tal, ¿podríamos construir un modelo que no hiciera mención explícita a dominio alguno? – Recurso al lenguaje natural