@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 INDETERMINACIONES Tema 8.4 * 1º BCS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Límites con infinitos Al calcular el límite de una función polinómica, y = P(x), en el infinito, puede ocurrir: Lím P(x) = + oo x  +oo Lím P(x) = – oo x  +oo Lím P(x) = + oo x  – oo Lím P(x) = – oo x  – oo El signo del resultado dependerá del signo que tenga la potencia de mayor exponente del polinomio que caracteriza la función, que será el que prevalezca. Cuando x  – oo, habrá que tener especial cuidado con el hecho tener potencias de exponente par o impar, pues un exponente par cambia el signo negativo a positivo y un exponente impar no. Lím + N / P(x) = N / (+ oo) = 0 x  +oo Lím – N / P(x) = – N / (– oo) = 0 x  +oo Lím P(x) = N / (– oo) = 0 x  – oo Lím P(x) = – N / (+ oo) = 0 x  – oo

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Ejemplos: Lím - x 5 = - (- oo) 5 = – (– oo) = (– oo) x  – oo Lím x + 2 = oo + 2 = oo x  +oo Lím x x + 2 = (– oo) (– oo) + 2 = oo – oo + 2 = oo x  – oo Lím x 3 – x = (- oo) 3 – (- oo) = – oo + oo = – oo x  – oo Lím - x 3 + x 2 = - (- oo) 3 + (- oo) 2 = – (– oo) + oo = + oo x  – oo Lím 1 / (x – 2) = 1 / (oo – 2) = 1 / oo = 0 x  +oo Lím 1 / (3 – x 2 ) = 1 / (3 – (– oo) 2 ) = 1 / (3 – oo) = 1 / (– oo) = 0 x  – oo Lím 1 / (x + x 3 ) = 1 / (oo + (– oo) 3 ) = 1 / (oo – oo) = 1 / (– oo) = 0 x  – oo

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Indeterminada [0.oo] Sabemos que 0.k = 0 siempre. Sabemos que oo.k = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] Para resolverla se procede así: Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L x  a x  a x  a Ejemplo 1 x x x (x+1).(x-1) 1+1 lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = [oo.0] = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ---- = 2 x  1 x - 1 x 0 1 x  1 (x – 1).x 1

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Ejemplo 2 1 x lím ‑‑‑‑‑‑‑. Lím = = - [oo.0] x  – 1 x +1 x  – 1 x 0 – 1 Resolvemos la indeterminación: (x+1).(x 2 – x +1) (x 2 – x +1) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím = x  – 1 (x +1).x x  – 1 x (– 1) 2 – (– 1) = ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = = – 3 – 1 – 1 – 1 Como se ve, el limite resultante no vale ni 0 ni oo.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(x) / x m Lím f(x) = Lím x  a x  a D(x) / x m Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x) Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo], [-oo / oo], [ oo / - oo]

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 EJEMPLOS INTUITIVOS DE LÍMITES EN EL INFINITO Ejemplo 1 y = x / (x – 3) Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003 Para x =  y = 1,00003 Por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco. Además se acerca a y=1, aunque nunca llega. Lím f(x) = 1 x  +oo Ejemplo 2 y = x / (x 2 – 4) Para x = 1000  y = 1000/ = 0,001 Para x=10000  y = 10000/ = 0,0001 Para x =  y = 0,00001 Para x =  y = 0, Lím f(x) = 0 x  +oo

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Ejemplo 1 2.x 3 - 3x oo 3 – 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = [-----] x  oo x 3 – x oo 3 – oo 2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x 3 ) 2 - (3/x 2 )+ (1/x 3 ) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = = 2 x  oo 1 – (1/x) – (5/x 3 ) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1 – Ejemplo 1

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Ejemplo 2 2.x 3 - 3x oo 3 – 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = [ ] x  oo 5 - x oo 2 - oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x 3 ) 2 - (3 / x 2) + (1 / x 3 ) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = = x  oo (5 / x 3 ) - (1 / x) (5/oo) - (1/oo) 0 – 0 = 2 / 0 = oo  Vemos que NO existe límite en el infinito. Ejemplo 2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Ejemplo 3 2.x oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = [ ] x  oo 5 + x oo 2 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x 2 ) (2 / x) + (1 / x 2 ) (2/oo) + (1/oo) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = = -- = 0 x  oo (5 / x 2 ) + (x 2 / x 2 ) (5/oo) Vemos que el límite en el infinito es 0. Ejemplo 3

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 Indeterminada [oo - oo] Sabemos que k + oo = oo siempre. Sabemos que k - oo = - oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con una diferencia oo - oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo - oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que ha dado lugar a la indeterminación. Si el resultado es otra indeterminación, se procederá a resolverla.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 Lím x – √(x 2 - x) = [oo – oo] = x  oo (x – √(x 2 - x)). (x + √(x 2 - x)) Lím = x  oo x + √(x 2 - x) x 2 - ( x 2 - x ) x Lím = Lím = x  oo x + √(x 2 - x) x  oo x + √(x 2 - x) Simplificando todo entre x, queda: 1 1 Lím = = 1 / (1+1) = 1 / 2 x  oo 1 + √(1 - 1/x) 1 + √( 1 – 0) Ejemplo 1

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 Lím √(x 2 – 2x + 3) – x =[oo – oo] = x  oo (√(x 2 – 2x + 3) – x ). (√(x 2 – 2x + 3) + x) Lím = x  oo √(x 2 – 2x + 3 ) + x x 2 – 2.x + 3 – x 2 – 2x + 3 Lím = Lím = x  oo √(x 2 – 2x + 3) + x x  oo √(x 2 – 2x + 3) + x Simplificando todo entre x, queda: – / x – Lím = = – 2 / (1+1) = – 2 / 2 = – 1 x  oo √(1 – 2/x + 3/ x 2 ) + 1 √( 1 – 0 + 0) + 1 Ejemplo 2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I15 Lím √(x 2 – 5) – x =[oo – oo] = x  oo (√(x 2 – 5) – x ). (√(x 2 – 5) + x) Lím = x  oo √(x 2 – 5) + x x 2 – 5 – x 2 – 5 Lím = Lím = – 5 / oo = 0 x  oo √(x 2 – 5) + x x  oo √(x 2 – 5) + x Ejemplo 3