Introducción a las Funciones

Reales Racionales Enteros Naturales Irracionales

Números Naturales N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }   Enteros Z = { .... -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, .... } Números Racionales Q = { p/q | p, q son enteros y q  0 } Números Irracionales Q'= {Todo número real que no es racional} { Números cuya representación decimal no termina y no son decimales repetitivos } Números Reales R = { Todo número racional o irracional } = { Q  Q'}

Temas que estudiaremos Definición de función Dominio Recorrido Notación Evaluar una función

Definición Una función es una relación entre dos conjuntos de tal manera que para cada elemento del primer conjunto corresponde un solo elemento del segundo conjunto.

Ejemplos reales de relaciones que envuelven funciones: Un individuo y su número de cédula Un vehículo de motor y número de placa Por lo contrario, no es una función la relación de madre e hijos. Explica por qué.

Al primer conjunto, de donde tomamos los elementos para la regla, se le llama Dominio y al segundo conjunto se le llama Recorrido o Rango. avión carro barco a b c RECORRIDO DOMINIO

RECORRIDO {avión, barco, carro} Observa que la relación anterior produce un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, éstos son: { ( a, avión) , (b, barco) , ( c , carro ) } DOMINIO { a, b, c } RECORRIDO {avión, barco, carro}

{ 1, 2, 3, 4 } Dominio { 2, 4, 6, 8 } Recorrido Ejemplo a. ¿Cuál es el Dominio en esta relación? { 1, 2, 3, 4 } Dominio b. ¿Cuál es el Recorrido ? { 2, 4, 6, 8 } Recorrido

Los elementos de esta relación son: { ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) } 1 2 3 4 6 8 Observa que los elementos de este conjunto son pares ordenados donde el primer elemento corresponde a un elemento del DOMINIO y el segundo elemento corresponde a uno del RECORRIDO.

¿Cómo describirías esta relación? ¿Qué regla la describe? 1 2 3 4 6 8 Observamos que en esta relación multiplicamos cada elemento del Dominio por dos. 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8

Si representamos a los elementos del DOMINIO con una x , y a los elementos del RECORRIDO con una y, entonces podemos representar la relación dada de la siguiente forma: y = 2x

Decimos que y = 2x , es la regla que describe la relación dada Observa, que esta ecuación nos indica que de acuerdo al valor que se le asigne a la variable x , será el valor que se obtiene para y.

Ahora: Según la definición de función, cuáles de los siguientes diagramas representan a una función. b c I II a b c 1 2 3 I II 1 2 3

RESPUESTAS SI SI a b c 1 2 3 a b c I II I II 1 2 3 NO

Observa que: Para el elemento I en el DOMINIO corresponden dos elementos distintos en el RECORRIDO, por lo tanto no responde a la definición de funciones. I II 1 2 3 NO

Práctica ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido. a. { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } ___________________ b. { (1,1), (2,2), (3,3) } ___________________ c. { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} ____________________ d. { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) }_______________

Respuestas a la Práctica ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido. a) { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } SI Dominio { 2,4,6,8} Recorrido { 6,12,18,24 } b) { (1,1), (2,2), (3,3) } SI Dominio {1,2,3} Recorrido {1,2,3} c) { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} NO Observa que el 3 tiene dos elementos distintos en el RECORRIDO d) { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) SI Dominio { 4, 1, 2, 5 } Recorrido {1,4,5,3}

Identificar funciones mediante la observación de tabla de valores Identifica cuáles de las siguientes tablas de valores representa a una función. En las siguientes tablas la primera columna representa a la variable independiente y la segunda columna a la variable dependiente. a b -5 10 5 -10 4 c d -1 1 2 4 e f 4 8 2 1

Notación de Funciones f X ------> Y Dominio Recorrido y = f(x) f es el nombre que se le asignó a la función, se lee "y es función f de x” Las variables son x y y.

Ejemplos de funciones

Importante Observa: El valor de y , depende del valor que se le asigne a x, en la regla correspondiente. Llamamos a y ,la variable dependiente y a x la variable independiente.

EVALUAR UNA FUNCIÓN Evaluar una función consiste en seleccionar un valor del Dominio de esa función y sustituírlo en la regla de la función.

Ejemplo 1 Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }. Hallar f(3) consiste en evaluar la función f en x = 3, sustituimos este valor en la regla de la siguiente forma f(3) = 2( 3 ) + 1 = 7. Luego de evaluar la función decimos que f(3)=7.

Cada vez que evaluamos una función obtenemos dos valores, uno para la variable independiente y el valor correspondiente para la variable dependiente. Por tanto, obtenemos un par ordenado de la forma ( x, y) . Para el Ejemplo 1, tenemos que f(3) =7 , por tanto el par ordenado es ( 3, 7).

f(5) = 11 par ordenado ( 5 , 11) f(1) = 3 par ordenado ( 1, 3 ) Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }. Evalúa la función f , en los valores indicados’ f(1) = 3 par ordenado ( 1, 3 ) f(5) = 11 par ordenado ( 5 , 11) f(7) = 15 par ordenado ( 7, 15 ) f(4) = No existe El 4 no pertenece al Dominio de esta función.

Si f(x) = 2x +1 es una función cuyo Dominio es { 1 , 3 , 5 , 7 }, entonces: Los pares ordenados que describen a la función f son: { ( 1,3) , (3,7) , (5,11) , (7,15) } Los elementos del RECORRIDO son { 3, 7, 11, 15 }

Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3} Ejemplo 2 Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3} a) ¿Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta relación? NO es elemento de esa función porque h(2) = 6. b) Indica cuáles son los elementos de esta relación. { (1,3), (2,6) , (3,11) } c) Indica el Recorrido { 3, 6, 11 }

Práctica h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x ; a) f(-3) = f(0) = Sean f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x ; funciones cuyo Dominio es dado por el conjunto que incluye a todo número real que produzca números reales en el Recorrido. Evalúa en los valores indicados: a) f(-3) = f(0) = b) g(15) = g(-5)= c) h( 3) = h( -2) = d) q(4) = q(-7) =

Respuestas - Práctica f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x a. f(-3) = -15 f(0) = 0 b. g(15) = 12 g(-5)=-8 c. h( 3) = 15 h( -2) = 0 d.. q(4) = -4 q(-7) = 7

Cuando no se especifica cuál es el Dominio de la función entonces es implícito que consiste en el conjunto de todo número real para el cual esté definida la función en los números reales. Al evaluar una función el resultado para la variable dependiente y , debe ser un número real.

Hay que tener cuidado con este tipo de ejemplos g(1) = 1 g(16) = 4 g(-4) = 2i El resultado NO es un número real, por lo tanto - 4 no puede ser parte del DOMINIO.