¿Cuál es la solución de la ecuación x + 5 = 12 ? RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Resolver una ecuación de 2° grado es encontrar sus raíces o soluciones, es decir, aquellos valores de la incógnita que satisfacen la ecuación ( verifican la igualdad ) Recordemos este concepto aplicándolo a una ecuación de 1° grado: ¿Cuál es la solución de la ecuación x + 5 = 12 ? La respuesta es x = 7 Así pues, si reemplazamos la solución x = 7 en x + 5 = 12 satisface la ecuación En efecto, 7 + 5 = 12 ¡ x = 7 satisface la ecuación! por tanto, es la solución 12 = 12

? …veamos otro ejemplo 3x – 9 = 6 ¿Cuál es la solución de la ecuación? la respuesta es x = 5 reemplacemos la solución en la ecuación para verificar 3x – 9 = 6 3 • 5 – 9 = 6 ¡ x = 5 satisface la ecuación! por tanto, es la solución 15 – 9 = 6 6 = 6 Seguramente estarás pensando en resolver las ecuaciones de 1° grado despejando la x. Por ahora sólo lo hemos hecho por ensayo y error.

Probemos dándonos algunos valores para x… …ahora consideremos una ecuación de 2° grado (cuadrática) Piensa, piensa, piensa… X2 – 7x + 12 = 0 ¿La ecuación está ordenada a la forma ax2 + bx + c = 0 ? siiiiiiiiiiiiii a= b= c= 1 -7 12 ¿Cuáles son los valores de a, b y c ? ¿Qué tipo de ecuación es ? ¡Completa general! ¿Cuál(es) es(son) el(los) valor(es) de x que satisface(n) la ecuación X2 – 7x + 12 = 0 ? Probemos dándonos algunos valores para x…

En efecto, la ecuación X2 – 7x + 12 = 0 tiene como raíces o soluciones los números reales 3 y 4 que se designan usualmente x1 y x2 X2 – 7x + 12 = 0 X1 = 3 X2 = 4 Es sencillo comprobar que dichos valores satisfacen la ecuación: X1 = 3 : X2 – 7x + 12 = 0 X2 = 4 : X2 – 7x + 12 = 0 32 – 7•3 + 12 = 0 42 – 7•4 + 12 = 0 9 – 21 + 12 = 0 16 – 28 + 12 = 0 0 = 0 0 = 0

¡¡¡bien, la fórmula funciona!!! Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas Existe un método de resolución de ecuaciones de 2° grado que permite determinar las raíces o soluciones de cualquier tipo de ecuación cuadrática en forma más simple. Este método consiste en aplicar una fórmula general que expresa en forma abreviada las dos raíces x1 y x2 de la ecuación ax2 + bx + c = 0, en función de los coeficientes a, b y c Apliquemos esta fórmula para resolver la ecuación vista anteriormente: X2 – 7x + 12 = 0 a= b= c= 1 -7 12 ¡¡¡bien, la fórmula funciona!!!

Ejemplos: 1. Resolver la ecuación x2 – 2x – 3 = 0 En este caso a = 1 b = -2 c = -3 Entonces, reemplazando en la fórmula general se obtiene: el inverso de b b2 = (-2)2 = 4 Por lo tanto, las raíces o soluciones de la ecuación son x1 = 3 y x2 = -1

2. Determinar las raíces de la ecuación 9x2 – 6x + 1 = 0 En este caso a = 9 b = -6 c = 1 Reemplazando en la fórmula general se obtiene: Luego, ambas raices son iguales, por lo tanto, la solución de la ecuación es

3. Resolver la ecuación x2 + 3x - 4 = 0 b = 3 c = -4 Estos valores se reemplazan en la fórmula general : Por lo tanto, las raíces o soluciones de la ecuación son x1 = 1 y x2 = -4

…ahora podemos aplicar la fórmula general 4. La solución de la ecuación x ( x + 11 ) + 4x = 7x2 - 9 Como puedes observar la ecuación no está escrita a la forma ax2 + bx + c = 0 , por lo tanto, lo primero que debemos hacer es ordenarla para luego aplicar la fórmula general. x ( x + 11 ) + 4x = 7x2 - 9 x2 + 11x + 4x = 7x2 - 9 X2 + 11x + 4x - 7x2 + 9 = 0 - 6 x2 + 15 x + 9 = 0 / •-1 6 x2 – 15 x – 9 = 0 ¡Ecuación ordenada! …ahora podemos aplicar la fórmula general Por lo tanto, las raíces o soluciones de la ecuación son x1 = 3 y x2 = -1/2 a = 6 b = -15 c = -9

¡Ecuación ordenada! a la forma ax2 + bx + c = 0 5. La solución de la ecuación ( x + 3 )2 = ( 2x + 3 ) ( x – 1 ) + 6 Primero ordenaremos la ecuación a la forma ax2 + bx + c = 0 para luego aplicar la fórmula general. ( x + 3 )2 = ( 2x + 3 ) ( x – 1 ) + 6 ( x + 3 ) ( x + 3 ) = ( 2x + 3 ) ( x – 1 ) + 6 x2 + 3x + 3x + 9 = 2x2 - 2x + 3x - 3 + 6 X2 + 3x + 3x +9 - 2x2 + 2x - 3x + 3 - 6 = 0 - x2 + 5x + 6 = 0 /•(-1) X2 – 5x – 6 = 0 ¡Ecuación ordenada! a la forma ax2 + bx + c = 0 a = 1 b = -5 c = -6 Por lo tanto, las raíces o soluciones de la ecuación son x1 = 6 y x2 = -1

Practicando lo Aprendido (Autoevaluación) Ordenar y resolver las siguientes ecuaciones de 2° grado, mediante la fórmula general: 1) x2 + 7x + 12= 0 2) X2 - 14x + 45= 0 3) 4x2 - 4x + 1= 0 4) 2x2 + 7x - 4= 0 5) 4y2 + 1 = 9 + 4y 6) Desafío: El profesor de Lenguaje de Felipe le pidió como tarea que hiciera un poema que tuviera rima e integrara las asignaturas de Lenguaje y Matemática. A Felipe le gustaban los desafíos, así que después de un rato escribió: Un número entero soy y qué cansado estoy. Ocho veces han multiplicado mi sucesor por mi antecesor hoy y nadie entiende cómo he terminado ocho unidades menor que yo mismo, aquí donde estoy…

PAUTA DE CORRECCIÓN 1) ( -3 ; -4 ) 2) ( 9 ; 5 ) 3) ( 4/8 = 1/2 ) 1) ( -3 ; -4 ) 2) ( 9 ; 5 ) 3) ( 4/8 = 1/2 ) 4) ( 2/4 = 1/2 ; -4 ) 5) ( 2 ; -1 )