5 Semejanzas Las transformaciones que mantienen la forma y las proporciones se llaman semejanzas. LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD
Construcción de figuras semejantes La forma más sencilla es el método de la proyección. Fijamos un punto O. Trazamos rectas que pasen por O y por los vértices de la figura original. Los vértices de la nueva figura están alineados con O y con los vértices de la original, y sus lados serán paralelos a los de la figura original. SIGUIENTE
Teorema de Thales Teorema de Thales Comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como teorema de Thales. Si tres o más rectas paralelas a, b y c son intersecadas por dos transversales r y s, y los segmentos de las rectas transversales determinados por las paralelas son proporcionales. SIGUIENTE
Teorema de Thales Ejemplo: Calcular la medida del segmento x. Ordenamos los datos en la proporción, según el teorema de Thales. SIGUIENTE
Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes cuando verifican las siguientes condiciones: Sus lados son proporcionales: Sus ángulos son iguales: SIGUIENTE
Criterios de semejanza de triángulos Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. SIGUIENTE
Criterios de semejanza de triángulos Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. SIGUIENTE
Criterios de semejanza de triángulos Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales. SIGUIENTE
Criterios de semejanza de triángulos Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales. TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. SIGUIENTE
Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm SIGUIENTE
Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm Por Pitágoras: SIGUIENTE
Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm Por Pitágoras: Aplicando el teorema del cateto: cm 8 , 1 5 9 3 2 16 4 n a b m c SIGUIENTE
Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm Por Pitágoras: Aplicando el teorema del cateto: cm 8 , 1 5 9 3 2 16 4 n a b m c Aplicando el teorema de la altura: SIGUIENTE
Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Calcular la altura de la torre. Los triángulos siguientes son semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo común. Por lo tanto, la altura de la torre es 8,12 metros.
Semejanza de áreas y volúmenes Si dos figuras planas son semejantes, con razón de semejanza r, sus áreas serán proporcionales y la razón de la proporción es r2. SIGUIENTE
Semejanza de áreas y volúmenes Si dos cuerpos son semejantes, con razón de semejanza r, sus volúmenes serán proporcionales y la razón de la proporción es r3.