Introducción al cálculo integral INTEGRALES Tema 12 @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

Introducción al cálculo integral INTEGRALES Tema 12.1 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continua en el intervalo [a,b] y f(x)≥0, y F está definida en dicho intervalo de forma que mide el área sombreada; entonces la función F es derivable y verifica que F’(x) = f(x) para cualquier x de [a, b]. Y f(x) F(x) 0 a b X @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

Introducción al cálculo integral Velocidad Velocidad = f (Tiempo) Área bajo la curva = Espacio recorrido por el móvil Tiempo @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

Introducción al cálculo integral Gráfico de Riemann Sea f una función creciente en un intervalo centrado en x. Hay que probar que: F(x+h) – F(x) F ’(x) = lím -------------------- = f (x) h0 h F(x+h) – F(x) medirá el área de la región indicada en verde. La altura será f(x) y la anchura será h. Tendremos: h.f(x) ≤ F(x+h) – F(x) ≤ h.f(x+h) Cuando h 0, el límite nos dará f(x) : f(x) ≤ lím -------------- ≤ f(x) Por lo tanto F’(x) = f(x). f(x) F(x) 0 a x x+h b X @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

Introducción al cálculo integral Cálculo de áreas Si f es continua en el intervalo [a,b] y f(x)≥0, el área de la región limitada por el eje horizontal, la gráfica de f y las rectas verticales x=a y x = b es igual al número G(b) – G(a), donde G es cualquier función cuya derivada sea f. F(x) y G(x) no tienen por qué ser iguales, pero sí debe ocurrir que: F(x) – G(x) sea constante, pues deben tener la misma derivada, f(x). Se cumple que F(a) – G(a) = F(b) – G(b) Y como F(a) = 0, al quedar el área reducido a un segmento vertical, tenemos: F(b) = G(b) – G(a) Área sombreada = G(b) – G(a) Además de áreas se pueden calcular volúmenes, longitudes, etc. f(x) F(x) 0 a b X @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN Hallar la función derivada de cada una de las siguientes funciones: F (x) = 1/4 x4 ; G (x) = 1/4 x4 + 7 ; H(x) = 1/4 x4 – 5 El alumno habrá comprobado que las tres funciones: F (x), G (x) y H (x) tienen la misma función derivada: f (x) = x3 Se dice que cada una de las funciones F(x),G(x) y H(x) es una primitiva de f(x). Definición: Si la función F(x) tiene como derivada la función f(x), se dice que F(x) es una primitiva de f (x). Para indicar que la función F(x) es una primitiva de la función f(x) escribiremos: F (x)= P [ f (x)] Para averiguar si una función F (x) es una primitiva de la función f (x) basta calcular la derivada de F(x): si existe y coincide con f(x), entonces F(x) es efectivamente una primitiva de f(x). @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

Introducción al cálculo integral INTEGRAL INDEFINIDA Recordemos que si la función F (x) tiene como derivada la función f (x) entonces F (x) es una primitiva de f (x). Resultado que se interpreta en general así: La derivada de una primitiva de la función f (x) es la propia función f (x). Si F(x) es una primitiva de la función f(x), la función F(x) + C (suma de la función F(x) y de una constante C) es también una primitiva de f (x). El conjunto de todas las primitivas de la función f (x) se designa por  f(x) dx y se llama integral indefinida de f (x). Es decir:  f (x) dx = F (x) + C = conjunto de todas las primitivas de f (x). Para poder calcular las áreas y demás aplicaciones vistas en el apartado anterior, habrá que hallar la integral indefinida de una función. @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

I. INDEFINIDA DE f POTENCIAL La derivada de la función potencial f(x)=a.xn es f ' (x)= a. n. xn-1 En efecto, sea la función f(x) =7 x4 ; su derivada f ’(x) =7. 4. x3 ¿Cómo llegar de f ’(x) a f(x)? 4 28 28 28 f(x) =P[ 28. x3 ] = P[ 28.--- x3 ] = ---- P[ 4. x3 ] = ---- x4 = ------ x3+1 4 4 4 3 +1 Vemos pues que para llegar a la primitiva de una función potencial, el exponente aumenta en una unidad y el número que lo acompaña (constante) queda multiplicado por la potencia que tenía más una unidad a En general:  a. xn dx = -------- xn+1 + C n+1 @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

INTEGRALES INMEDIATAS A semejanza del cálculo de derivadas, es muy necesario para conseguir rapidez y destreza en el cálculo de integrales, conocer el resultado de algunas integrales muy sencillas y elementales llamadas INMEDIATAS. Ejemplos 1.- Sabemos que si f(x) = 5.x  f ’ (x) = 5 Luego, si F(x) = 5   5 dx = 5. x + C 2.- Sabemos que si f(x) = sen x  f ’ (x) = cos x Luego, si F(x) = cos x   cos x dx = sen x + C 3.- Sabemos que si f(x) = ex  f ’ (x) = ex Luego, si F(x) = ex   ex dx = ex + C 4.- Sabemos que si f(x) = √x  f ‘ (x) = 1 / 2.√x Luego, si F(x) = 1 / 2.√x   (1 / 2.√x) dx = √x + C @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

Introducción al cálculo integral @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL PRIMERA La integral indefinida de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales indefinidas de las funciones sumandos. Es decir:  [ f (x) + g (x) + ...+ k (x)] dx =  f (x) dx +  g (x) dx + ..  k (x) dx. Ejemplos (Ya resueltos al ser integrales inmediatas)  [ 3.x2 + 2.x + 4] dx =  3.x2 dx +  2.x dx +  4 dx = x3 + x2 + 4.x + C  [ cos x – sen x] dx =  cos x dx +  – sen x dx = sen x + cos x + C  [ ex + 2x ] dx =  ex dx +  2x dx = ex + (2x / ln 2) + C  [ 7.x6 + 3x – cos x – 9] dx =  7.x6 dx +  3x dx –  cos x dx –  9 dx = = x7 + (3x / ln3) – sen x – 9.x + C @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL SEGUNDA La integral indefinida del producto de un número (una constante) por una función f(x) es igual al producto del número (de la constante) por la integral indefinida de la función f (x). Simbólicamente:  k .f (x) dx = k  f(x) dx Ejemplos (Ya resueltos al ser integrales inmediatas)  3.ex dx = 3. ex dx = 3.ex + C  5.cos x dx = 5. cos x dx = 5.sen x + C  (5 / x) dx = 5.  (1 / x) dx = 5. ln x + C  (7 / 16.√x) dx = (7 / 8). (1 / 2.√x) dx = (7 / 8).√x + C @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral

I. INDEFINIDA DE f POLINÓMICA Sea la función polinómica f(x)= 11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9. Dicha función es la suma de las funciones potenciales f1(x) = 11. x 5 ; f2(x) = 5. x 3 ; f3(x) = (-7). x 2 ; f4(x) = 7.x ; f5(x) = 9 Según las propiedades previas :  [11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9 ] dx = =  11. x5 dx +  5. x3 dx -  7. x2 dx +  7x dx +  9 dx = 11. x6 5. x4 7. x3 7. x2 = ------- + ------- -- ------ + ------ + 9. x + C 6 4 3 2 @ Angel Prieto Benito Introducción al cálculo integral