Matemáticas Accso a CFGS OTRAS DERIVADAS Bloque III * Tema 126 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Derivadas Potenciales f (x) = x n  f ‘ (x) = n. x n – 1 Sea y = x7  y’=7. x6 Sea y = 4x27  y’=4.27. x26 = 108.x26 Sea y = 1 / x  y=x-1  y’=-1.x -2 = -1 / x2 Sea y = 2 / x5  y=2.x-5  y’=-10.x -6 = -10 / x6 Sea y = - 3 / x11  y=- 3.x-11  y’= 33.x -12 = 33 / x12 3 Sea y = √x7  y=x7/3  y’=7/3. x7/3 – 1 = 7/3.x4/3 5 Sea y = 3 √4x3  y=3.41/5.x3/5  y’=3.41/5.3/5. x3/5 – 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Derivadas Exponenciales Sea y = ex la llamada función exponencial. Aplicando la definición de derivada: y’ = ex La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial. Sea y = ax , para a > 0 y a <> 1. Haciendo un cambio de base: y = ax  ln y = x. lna  y = ex.lna Aplicando la Regla de la cadena: y’ = ln a. ax Sea y = af(x) , para a > 0 y a <> 1. y = ef(x).lna y’ = ln a. f’(x) . af(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Matemáticas Accso a CFGS EJEMPLOS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Matemáticas Accso a CFGS EJEMPLOS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Derivadas Logarítmicas Sea y = ln x Aplicando la definición de derivada: f ’(x) = 1 / x Sea f(x) = log x Se procede a un cambio de base: 10y = x  ln10y = lnx  y ln10 = Ln x  y = ln x / ln 10 Queda: 1 f ‘(x) = ---------- x.ln10 Sea f(x) = loga x ay = x  ln ay = ln x  y.lna = Ln x  y = ln x / ln a Derivando: 1 y ' = --------- x. ln a @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Matemáticas Accso a CFGS Sea f(x) = log x Se procede a un cambio de base: y = ln x / ln 10 Derivando queda: 1 f ‘(x) = ---------- x.ln10 Sea f(x) = loga x Mediante un cambio de base y posteriormente derivando, queda: 1 y ' = --------- x. ln a Sea f(x) = ln g(x) Aplicando la regla de la cadena: 1 g‘(x) f ‘(x) = ------ . g ’(x) = ---------- g(x) g(x) Sea f(x) = log g(x) o f(x) = loga g(x) 1 g‘(x) 1 g‘(x) y ' = -------- . ----------- o y ‘ = -------- . ---------- ln 10 g(x) ln a g(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Matemáticas Accso a CFGS Ejemplos y = ln (x – 2.x3)  y’ = (1 – 6.x2) / ( x – 2.x3) y = ln (x3 + ex)  y’ = (3.x2 + ex) / (x3 + ex) y = log (x . e-x)  y’ = [e-x + x .(- e-x)] / (x . e-x).ln10 y = ln (x2.(3x – 2))  y’ = (2x.(3x – 2) + x2.3) / (x2.(3x – 2)) y = log5 (x3.3x)  y’ = (3x2.3x + x3.3x.ln3) / (x3.3x).ln5 y = ln [(x2 – 3) / x ]  y’ = [2x.x – (x2 – 3)] / x2. [(x2 – 3) / x ] = [x2 + 3] / [(x4 – 3x2) / x] = (x3+3x)/(x4 – 3x2) = (x2 + 3) / (x3 – 3.x) y = (x – 1). ln x  y’ = ln x + (x – 1) / x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Matemáticas Accso a CFGS Derivadas mixtas g(x) Sea y = f (x) , función POTENCIAL-EXPONENCIAL Tomando logaritmos neperianos: ln y = g(x). ln f(x) Derivamos ambos lados de la igualdad: y ‘ / y = [ g ‘ (x). ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  y ‘ = y . [ … ]  y ‘ = f (x) . [ g ‘ (x). ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) ) ] Nota: Dada la dificultad de memorizar la expresión parece más práctico aprender el método, teniendo éste la ventaja de poder ser utilizado en todo tipo de expresiones exponenciales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Matemáticas Accso a CFGS Ejemplos y = x3 – x  ln y = (3 – x).ln x   y’ / y = [ (– 1).ln x + (3 – x).1/x ]  y’ = y.[…] y = (ln x)x  ln y = x.ln(ln x)   y’ / y = [ 1.ln(ln x) + x.(1/x)/ln x ]  y’ = y.[…] y = (x2 – 3.x) 2.x – 1  ln y = (2.x – 1).ln (x2 – 3.x)   y’ / y = [ 2. ln (x2 – 3.x) + (2.x – 3)/(x2 – 3.x) ]  y’ = y.[…] y = (x – 1) ln x  ln y = ln x . ln (x – 1)   y’ / y = [ (1/x).ln (x – 1) + ln x.(1/(x – 1) ]  y’ = y.[…] y = (√x) 3x + 5  ln y = (3.x + 5).ln √x   y’ / y = [ 3. ln √x + (3.x + 5).(1 / 2√x) / √x ]  y’ = y.[…] @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Derivadas Trigonométricas Sea f(x) = sen x f ‘ (x) = cos x Sea f(x) = cos x f ‘ (x) = - sen x Sea f(x) = tg x f ‘ (x) = 1 / cos2 x Sea f(x) = arcsen x f ’(x) = 1 / √(1 - x2) Sea f(x) = arccos x f ’(x) = – 1 / √(1 - x2) Sea f(x) = arctg x f ’(x) = 1 / (x2 + 1) Sea f(x) = sen g(x), f(x) = cos g(x), f(x) = tg g(x), etc. Se aplicaría la Regla de la Cadena para funciones compuestas. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Matemáticas Accso a CFGS Ejemplos y = sen x2  y ‘ = cos x2 . 2x y = cos x3  y ‘ = - sen x3 . 3x2 y = ln sen x  y ‘ = cos x / sen x = cotg x y = log cos x  y ‘ = (- sen x / cos x) / ln 10 y = sen ln x  y ‘ = cos ln x . (1 / x) y = sen3 x  y ‘ = 3. sen2 x . cos x y = cos5 x3  y ‘ = 5. cos4 x3 . (– sen x3). 3x2 y = √sen x  y ‘ = (1/2) (sen x)-1/2 . cos x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS

Ejercicios propuestos Aplicando la Regla de la Cadena hallar las derivadas de: y = arcsen x2  y ‘ = y = arccos x3  y ‘ = y = ln arcsen x  y ‘ = y = log arctg x  y ‘ = y = arctg ex  y ‘ = y = arcsen3 x  y ‘ = y = arccos5 x3  y ‘ = y = √arcsen ex  y ‘ = @ Angel Prieto Benito Matemáticas Accso a CFGS