DERIVADAS DE OPERACIONES DÍA 44 * 1º BAD CT

DERIVADA DE LA SUMA Sea y = f(x)+g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x + x) + g(x + x) ‑ f(x) ‑ g(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ = x0 x f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------- + ------------------------ = x0 x x f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- + lím ------------------------ = x0 x x0 x y’ = f ’(x) + g ‘(x)

DERIVADA DEL PRODUCTO Sea y = f(x). g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x + x). g(x + x) ‑ f(x). g(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ = x0 x Sumamos y restamos f(x).g(x+x) al numerador, quedando: f(x + x). g(x + x) ‑ f(x) . g(x) + f(x).g(x+x) - f(x).g(x+x) = lím ‑‑------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------------------------------------- x 0 x Sacando factor común : [f(x + x) - f(x)]. g(x + x) + [g(x + x) - g(x)]. f(x ) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------------------------------------------------- x0 x f(x + x) - f(x) g(x + x) - g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---- g(x + x) + lím ---------------------- f(x) = x0 x x0 x y ’ = f ‘(x) . g(x) + f(x) . g ’(x)

DERIVADA DE LA INVERSA Sea y = k.f(x) Aplicando la definición de derivada: k. f(x + x) - k.f(x) k. [f(x + x) - f(x)] y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------- = lím ---------------------------- = k. f ‘(x) x0 x x0 x Sea y = 1 / f(x) Aplicando la definición de derivada: 1 / f(x + x) - 1 / f(x) f(x) - f(x + x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------- = lím ---------------------------- = x0 x x0 f(x). f(x + x). x - [f(x + x) - f(x)] 1 1 - f ‘(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----- . ------------------- = - f ‘(x). ---------- = ------- x0 x f(x). f(x + x) f(x).f(x) f 2(x)

DERIVADA DE LA DIVISIÓN Sea y = g(x) / f(x) Poniéndolo de la forma: y = g(x). 1 / f(x) y operando como producto de dos funciones: g ’(x) - f ‘(x) y ' = g ‘(x). 1 / f(x) + g(x).[ 1/f(x)]’ = --------- + g(x). -------- f(x) f 2 (x) y sacando mínimo común múltiplo resulta: g ‘(x). f(x) - g(x). f ‘(x) y ‘ = ------------------------------------- f 2 (x)

OTRAS DERIVADAS MUY EMPLEADAS Sea y = √x Siempre se puede poner previamente como y = x1/2 Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: y ’ = 1 / 2√x Sea y = 1 / x Siempre se puede poner previamente como y = x – 1 y ’ = – 1/ x2 Sea y = 1 / f (x) Sea cual sea el tipo de la función f(x) su derivada es: y ‘ = – f ‘(x) / f 2 (x) Por eso es importante memorizar su derivada, aunque no imprescindible.

DERIVADA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Sea y = Ln x Aplicando la definición de derivada: Ln (x + x) - Ln x 1 y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------- = ----- x0 x x Sea y = log x Se procede a un cambio de base: 10y = x  y = Ln x / Ln 10 1 1 y ' = -------- . ---- Ln 10 x En general, sea y = loga x Se procede a un cambio de base: ay = x  y = Ln x / Ln a 1 1 y ' = ------- . ---- Ln a x

Derivada del logaritmo de una función Sea y = Ln f(x) Aplicando la definición de derivada: Ln f(x + x) - Ln f(x) f ‘ (x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--------------- = -------------- x0 x f (x) Fórmula que sólo es válida para logaritmos neperianos. Si el logaritmo no es neperiano, se procederá a un CAMBIO DE BASE. Sea y = log f(x) o y = loga f(x) Aplicando un cambio de base: f(x) = 10y  y = Ln f(x) / Ln 10 Aplicando un cambio de base: f(x) = ay  y = Ln f(x) / Ln a 1 f ‘ (x) 1 f ‘ (x) y ' = -------- . ----------- o y ‘ = -------- . ---------- Ln 10 f(x) Ln a f (x)

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea y = ex la llamada función exponencial. Tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln ex = x. Ln e = x Derivando: D(Ln y) = D( ln f (x) ) = f ’(x) / f (x) como ya hemos visto. y ‘ / y = 1  y ‘ = y . 1 = y  y ‘ = ex La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial. Sea y = ax , donde a es siempre un número real y positivo. Tomando logaritmos: Ln y = x. Ln a ; y derivamos ... y ‘ / y = [ 1. Ln a + x. 0] ; y ‘ = y . Ln a  y ‘ = ax . Ln a

Sea y = af(x) , donde a es siempre un número real y positivo. Tomando logaritmos: Ln y = f(x). Ln a ; y derivamos ... y ‘ / y = [ f ‘ (x). Ln a + f(x). 0] ; y ‘ = y . [ f ‘ (x).Ln a ]  f(x)  y ‘ = a . f ‘ (x). Ln a g(x) Sea y = f (x) , función POLINÓMICO-EXPONENCIAL Tomando logaritmos: Ln y = g(x). Ln f(x) ; y derivamos ... y ‘ / y = [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  y ‘ = y . [ … ]  y ‘ = f (x) . [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) ) ]

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS Como hemos visto las razones trigonométricas están relacionadas entre sí. Ello hace que sólo tengamos que saber las derivadas de las dos primeras: Sea y = sen x  y ‘ = cos x Sea y = cos x  y ‘ = - sen x Al poder poner y = tg x como y = sen x / cos x , para derivarla la trataremos como una división de funciones. Y del mismo modo el resto de funciones trigonométricas. Sea y = sen f(x)  y ‘ = cos f(x) . f ’ (x) Sea y = cos f(x)  y ‘ = - sen f(x) . f ’ (x) Sea y = Ln sen x  y ‘ = cos x / sen x Sea y = Ln cos x  y ‘ = - sen x / cos x

REGLA DE LA CADENA Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo y = f(g(x)) que y = g(f(x)) Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas. Sea y = f(g(x))  y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) Sea y = g(f(x))  y’ = g ‘ (f(x)) . f ‘ (x) Ejemplos Sea y = sen7 x = ( sen x )7  Es una función polinómica. y ‘ = 7.( sen x ) 6 . cos x Sea y = sen x7  Es una función trigonométrica. y ‘ = cos x 7 . 7. x 6