POLINOMIOS TEMA 2 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opc B

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS TEMA 2.7 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opc B

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. CASOS A CONSIDERAR 1.- Que a P(x) le falte el término independiente. P(x) = a.x3 + b. x2 + c.x Extraemos factor común a x y lo tendremos factorizado: P(x) = x.(a.x2 + b. x + c ) Ejemplos 1.- P(x) = 3.x3 + 4.x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x2 + 4 ) 2.- P(x) = 2.x4 - 3.x2  Extraemos factor común a x P(x) = x.(2.x3 - 3.x ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opc B

2.- Que P(x) sea el desarrollo de un producto notable. Se identifica el producto y se expresa como producto de factores o potencia. Ejemplos x2 + 2.x.y + y2 = ( x + y )2 = ( x + y ) ( x + y ) x2 - 8.x + 4 = ( x - 4 )2 = ( x - 4 ) ( x - 4 ) x2 / 4 – 9 = (x/2 + 3 ) . ( x/2 – 3 ) x3+ 6.x2 + 12.x + 8 = ( x + 2 )3 = ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) x4 - 3.x2 = ( x2 + √3.x) ( x2 – √3.x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opc B

En ese caso como P(x) = d(x).c(x) + r(x) y r(x) = 0 3.- Que P(x) al ser dividido entre (x – a) resulte una división exacta (resto = 0). En ese caso como P(x) = d(x).c(x) + r(x) y r(x) = 0 Resulta que P(x) = (x - a). c(x) , que es el producto de dos polinomios. Ejemplo Sea P(x) = x3 - 3.x2 + 3.x - 1 Como el 1 es una raíz x3 - 3.x2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x2 – 2.x + 1) Y ya estaría factorizado. Pero como ( x2 – 2.x + 1) = (x – 1) .(x – 1) Quedaría mejor x3 - 3.x2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x - 1).( x - 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opc B

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS PASOS A TENER EN CUENTA 1.‑ Extraer factor común, reduciendo polinomio a factorizar. P(x) = x3 – 9.x = x.(x2 – 9) 2.‑ Ordenarlo de forma decreciente. P(x) = 4 – x3 – 9.x = – x3 – 9.x + 4 3.- Utilizar las identidades notables. P(x) = 4.x2 – 9 = (2.x – 3).(2.x + 3) 4.‑ Buscar, aplicando el Teorema del Resto, las posibles raíces enteras. P(x) = x3 – 9  PRE={-1, +1, -3, +3, -9, +9} P(-1)= …, P(1)= …, P(-3)= … 5.‑ Una vez encontrada alguna raíz, aplicar la Regla de Ruffini para hallar las restantes, cuidando que alguna de ellas se puede repetir varias veces. P(x) = x3 – 5.x2 + 3.x + 9 = (x – 3). (x – 3). (x + 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opc B

…. PASOS A TENER EN CUENTA 6.‑ Si algún cociente fuera de grado 2, se puede aplicar la fórmula de ecuaciones de segundo grado, pudiendo hallar de esta forma raíces no enteras (racionales e irracionales) si las hubiera. P(x) = (x – 2).(x + 3).(x2 – 2) = (x – 2).(x + 3).(x – √2) .(x + √2) Al aplicar Ruffini obtenemos un cociente de grado 2. Aplicamos la fórmula para resolver x2 – 2 = 0 y obtenemos las dos raíces que nos faltan que resultan ser irracionales. 7.‑ Si el polinomio es de grado impar, tiene al menos una raíz real aunque no sea entera. Si P(a) > 0 y P(b) < 0, entre a y b podemos asegurar que existe una raíz. Ello es muy importante, sobre todo cuando las raíces no sean enteras; habrá que hallarlas entonces por aproximación. P(x) = x3 – 5  No hay raíces enteras. P(1) = – 4 , P(2) = 3  Entre x=1 y x= 2 hay una raíz. 8.‑ Una vez halladas todas las existentes, poner el polinomio dado en forma factorial: P(x) = (x – a).(x – b).(x – c).(x – d)...., siendo a, b, c, d, ... las raíces halladas. P(x) = (x – 2).(x + 3)2 .(x + 3 / 2).(x – √2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opc B