Apuntes 2º Bachillerato C.S. MATEMÁTICAS A. CS II Tema II Matrices @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

OPERACIONES: SUMA DE MATRICES TEMA 2.2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. SUMA DE MATRICES Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición. PROPIEDADES Es asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C. El resultado de las operaciones indicadas es el mismo. Es conmutativa: A+B = B+A El orden de los sumandos no altera el resultado. Tiene elemento neutro (La matriz nula). La suma de una matriz con la matriz nula es la misma matriz. Toda matriz tiene su matriz opuesta. Aquella que sumada a la matriz dada da por resultado la matriz nula. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. SUMA DE MATRICES EJEMPLOS 1 2 4 5 1 7 + 2 8 1+1 2+7 = 4+2 5+8 2 9 = 6 13 1 -2 -4 5 1 -7 + 2 -8 1+1 -2-7 = -4+2 5-8 2 -9 = -2 -3 -1 2 4 -5 1 -2 + -4 5 -1+1 2-2 = 4-4 -5+5 0 0 = 0 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. SUMA DE MATRICES EJEMPLOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 + -2 0 1 3 -6 1 1+0 2+0 3+0 = 4-2 5+0 6+1 7+3 8-6 9+1 1 2 3 = 2 5 7 10 2 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 - 0 1 0 1-1 0-0 0-1 = 0-0 1-1 0-0 0-1 0-0 1-1 0 0 -1 = 0 0 0 -1 0 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

SUMA DE MATRICES 1 2 4 5 1 4 + 2 5 1+1 2+4 = 4+2 5+5 2 6 = 6 10 1 2 OBSERVAR: Una matriz + su transpuesta = Matriz simétrica 1 2 4 5 1 4 + 2 5 1+1 2+4 = 4+2 5+5 2 6 = 6 10 1 2 4 5 1 4 - 2 5 1-1 2-4 = 4-2 5-5 0 -2 = 2 0 1 2 3 4 -5 -6 -7 8 9 1 4 -7 + 2 -5 8 3 -6 9 1+1 2+4 3-7 = 4+2 -5-5 -6+8 -7+3 8-6 9+9 2 6 -4 = 6 -10 2 -4 2 18 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ Dada la matriz A=(aij) y el número real k llamado escala, se llama matriz producto k.A a la que resulta de multiplicar cada elemento de A por dicho número. PROPIEDADES Es distributiva respecto a la suma de matrices: k.(A+B)=k.A+k.B Es distributiva respecto a la suma de escalas: (k1+k2).A=k1.A+k2.A Es asociativa: k1.(k2.A) = (k1.k2).A Tiene elemento unidad: 1.A = A a11 a12 a21 a22 k.a11 k.a12 = k.a21 k.a22 k. A = k. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PRODUCTO DE k.A EJEMPLOS 1/2 -1 3 -1/6 2 -5 -1 2 -6 = 1/3 - 4 10 (-2) . A = (-2) . 1 4 7 . -2 5 -8 3 -6 9 3 12 21 = -6 15 -24 9 -18 27 3 . A = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROPIEDADES EJEMPLO DE k.(A+B)=k.A+k.B 1 2 3. 4 5 1 7 + 2 8 1 2 = 3. 4 5 1 7 + 3. 2 8 2 9 3. 6 13 3 6 = 12 15 3 21 + 6 24 6 27 18 39 6 27 = 18 39 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROPIEDADES (5 – 2). 1 -3 2 0 1 -3 = 5. 2 0 1 -3 - 2. 2 0 3. 1 -3 2 0 EJEMPLO DE (k1+k2).A=k1.A+k2.A (5 – 2). 1 -3 2 0 1 -3 = 5. 2 0 1 -3 - 2. 2 0 3. 1 -3 2 0 5 -15 = 10 0 2 -6 - 4 0 3 -9 6 0 5-2 -15-(-6) = 10-4 0-0  3 -9 6 0 3 -9 = 6 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROPIEDADES 5. (– 2). 1 -3 2 0 = 5.(-2). 1 -3 2 0 5. -2 6 -4 0 = - 10 EJEMPLO DE k1.(k2.A) = (k1.k2).A 5. (– 2). 1 -3 2 0 = 5.(-2). 1 -3 2 0 5. -2 6 -4 0 = - 10 1 -3 - 2 0 -10 30 -20 0 -10 30 = -20 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROPIEDADES MATRIZ TRANSPUESTA ORDEN DE UNA MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada es de orden 2, 3, 4, etc si presenta 2, 3, 4, etc filas o columnas. IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A=(aij) y B=(bij), de dimensiones mxn y pxq son iguales si, en primer lugar: m=p , n =q ; y en segundo lugar aij=bij para cualquier par i,j PROPIEDADES DE LA M. TRASPUESTA La traspuesta de la traspuesta es la matriz dada. t t t (A.B)=B . A t t t (A+B) =A + B t t (k.A) =k. A @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplos (At)t = A Sea A = 2 -1 3 -1 2 4 At = 2 -1 -1 2 3 4 (At)t = 2 -1 3 -1 2 4 Vemos que se cumple dicha propiedad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplos (A.B) t = B t . A t -3 Sea A = 2 -1 3 y B = 5 2 A.B = 2.(-3)+ (-1).5+3.2 = - 5 (A.B) t = - 5 B t . A t = -3 5 2 . - 1 = -3.2 + 5.(-1)+2.3 = -5 3 Vemos que se cumple la propiedad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplos (A+B) t = A t + B t Sea A = 2 -1 y B = 5 - 3 3 4 1 6 A+B = 2+5 -1-3 = 7 - 4 (A+B) t = 7 4 3+1 4+6 4 10 - 4 10 At = 2 3 y Bt = 5 1 -1 4 -3 6 At + Bt = 2+5 3+1 = 7 4 -1-3 4+6 -4 10 Vemos que se cumple la propiedad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplos (k.A)t =k. At Sea A = 2 -5 7 y k = 3 -1 6 4 6 - 3 k.A = 3.A = 6 -15 21  (3.A)t = -15 18 -3 18 12 21 12 2 -1 6 -3 k. At = 3.At = 3 . -5 6 = -15 18 7 4 21 12 Vemos que se cumple dicha propiedad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.