TEMA 2: POTENCIAS DE BASE ENTERA

DEFINICIÓN DE POTENCIA Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. La base de la potencia es el factor que se repite. El exponente indica el número de veces que se repite. 210 es una potencia de base 2 y exponente 10. 210 exponente base

POTENCIAS DE BASE ENTERA Hasta ahora las potencias tenían base natural (la base no tenía signo). A partir de hoy veremos potencias como estas:

SIGNO DEL RESULTADO de una potencia de base negativa Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado será positivo. Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado será negativo.

UNA COSA IMPORTANTÍSIMA Es conveniente acostumbrarse al uso de los paréntesis. Fijaos en los dos ejemplos que vienen a la derecha.

PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE 32 · 34 · 35 = (3 ·3) · (3 · 3 · 3 · 3 ) · (3 · 3 · 3 · 3 · 3) = 311 = 32+4+5 2 factores 4 factores 5 factores 11 factores El producto de varias potencias de la misma base es una potencia: · con la misma base; · con el exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. SENCILLO, ¿NO? VAMOS A PRACTICAR UN POCO

EJERCICIOS-EJEMPLO de producto de potencias con la misma base

COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE (–3)5 : (–3)2 (–3)5 : (–3)2 = (–3)5 – 2 El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia que tiene: la misma base; el exponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.

UNA PROPIEDAD IMPORTANTE Se admite que: 60 = 1; (–13)0 = 1 a0 = 1 El cociente 64 : 64 = 1 Pero si aplicamos la propiedad, 64 : 64 = 64–4 = 60 Ejemplos: 1. (–2)7 : (–2)3 = (–2)7–3 = (–2)4 2. (–5)6 : (–5)3 = (–5)6-3 = (–5)3

EJERCICIOS-EJEMPLO de cociente de potencias con la misma base

POTENCIA DE POTENCIA (–3)2 · (–3)2 · (–3)2 · (–3)2 es un producto de cuatro factores iguales. Por tanto, puede escribirse como potencia de base (–3)2 y exponente 4. Se dice que es una potencia de potencia. [(–3)]4 = (–3)2 · (–3)2 · (–3)2 · (–3)2 = (–3)2 + 2 + 2 + 2 = (–3)2 · 4 = (–3)8 Una potencia de una potencia es otra potencia que tiene: la misma base que la potencia de partida; el exponente igual al producto de los exponentes. Ejercicio. Escribe en forma de potencia los cuadrados y los cubos de las siguientes potencias 1. (–3)3 [(–3)3]2 = (–3)6 [(–3)3]3 = (–3)9 2. 52 [(52)]2 = 54 [(52)]3 = 56 3. (–7)4 [(–7)4]2 = (–7)8 [(–7)4]3 = (–7)12

OPERACIONES CON POTENCIAS EJEMPLOS 1. Escribe como una potencia de la misma base los siguientes productos: a) 23 × 23 (23)2 b) 23 × 23 × 23 (23)3 c) 54 × 54 × 54 (54)3 2. Escribe como una potencia de base 11, 13 y 7, respectivamente: a) (116)7 116×7 = 1142 b) (138)4 138×4 = 1332 c) (79)8 79×8 = 772 3. Escribe como potencia de potencia: a) 56 (53)2 = (52)3 b) 715 (73)5 = (75)3 c) 325 (35)5

CUADRADOS PERFECTOS Un cuadrado perfecto es un número que se puede obtener como resultado de multiplicar otro número consigo mismo. EJEMPLOS:

RAÍZ CUADRADA EXACTA Observa la figura: Tiene 36 puntos colocados en forma de cuadrado. El número 36 es un cuadrado perfecto: 36 = 62 y puede asociarse a un cuadrado con 6 puntos en cada lado. Decimos que la raíz cuadrada de 36 es 6. Lo escribimos así: La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado es igual al primero. porque 62 = 36 pues 72 = 49. pues 92 = 81. El signo se llama radical. El número que está bajo el signo radical se llama radicando.

RAÍZ CUADRADA ENTERA El número 43 no es un cuadrado perfecto. Por tanto, no representa un cuadrado ni tiene raíz cuadrada exacta. Observa: 62 = 36 < 43 < 72 = 49 6 es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 43. Se dice que 6 es la raíz cuadrada entera de 43, y se escribe: Como 43 – 62 = 7, el resto de la raíz cuadrada entera de 43 es 7. La raíz cuadrada entera de un número es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que dicho número. El resto de la raíz cuadrada de un número es igual a la diferencia entre el número y el cuadrado de su raíz entera. Número: 35 36 37 42 43 44 48 49 50 Ejemplos: Raíz: 5 6 6 6 6 6 6 7 7 Resto: 9 0 1 6 7 8 12 0 1

CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA Calculemos 1.º Dividir el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha. 2.º Se calcula la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda: = 2 3.º Restar del primer grupo el cuadrado de su raíz entera. 4.º Multiplicar por 2 la primera cifra de la raíz: 2 · 2 = 4. Calcular el mayor entero d tal que 4d·d se pueda restar del radicando; d será la segunda cifra de la raíz. Añadir a la diferencia las dos cifras siguientes del radicando. 2 5 –4 45 · 5 = 225 4 2 2 43 –2 25 5.º Restar de la diferencia anterior 45 · 5 = 225. 18 Ese número es 5: 45 · 5 = 225 Luego: Comprobación: 252 + 18 = 625 + 18 = 643

CONTINUACIÓN Continuamos con 6.º Colocar la coma decimal en la raíz y en el radicando. Añadir al radicando y al resto anterior un grupo de dos ceros. 7.º Multiplicar por 2 la raíz entera: 25 · 2 = 50 y encontrar el mayor entero d tal que 50d·d sea menor que 1 800. 2 –4 2 43 5 4 45 · 5 = 225 –2 25 18 , 3 8.º Restar 1509 del resto anterior: 1800 – 1509 = 291 503 · 3 = 1509 1800 –1509 Ese número es 3: 503 · 3 = 1509. 291 3 es la primera cifra decimal de la raíz. Luego: Comprobación: 25,32 + 18 = 640,09 + 2,91 = 643