FUNCIÓN EXPONENCIAL y FUNCIÓN LOGARITMICA Bloque III * Tema 106 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS FUNCIÓN EXPONENCIAL Se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL a la expresión: f (x) = ex Es decir una potencia donde la base es el número “e” y el exponente la variable “x”. El número “e” es el número irracional de valor e = 2,718281 Funciones exponenciales son también: f(x) = ax , donde a debe ser un número positivo. g(x) = ef(x) , donde el exponente es otra función. h(x) = af(x) , donde a > 0 y el exponente es otra función. En general funciones exponenciales son todas aquellas potencias donde la variable independiente, x, forme parte del exponente. f (x) = k.[g (x)] h(x) se llaman funciones polinómico-exponenciales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

La función exponencial y Sea y = ex Tabla de valores x y -4 0,018 -3 0,050 -2 0,135 -1 0,368 0 1 1 2,718 2 7,389 3 20,085 Gráfica - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Características de y = ax Sea la función: f(x) = ax Donde siempre a > 0 El eje X es siempre una asíntota horizontal. Corta al eje Y en el punto (0,1). Dom f(x) = R ,, Img f(x) = R+ La diferencia más importante de las funciones con ( 0 < a < 1 ) y a > 1 , es el CRECIMIENTO. Si 0 < a < 1  La función es DECRECIENTE. Si a = 1  f(x) = 1 Si a > 1  La función es CRECIENTE. y f(x) = ax Para (0<a<1) f(x) = ax Para a>1 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

La función exponencial y=2x Sea y = 2x Donde la base, a, vale 2. Muy importante: Siempre a > 0 Tabla de valores x y - 4 1 / 16 - 3 1 / 8 - 2 1 / 4 - 1 1 / 2 0 1 1 2 2 4 3 8 8 y 4 Gráfica 2 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

La función exponencial y=2x y la función cuadrática y=x2 Sea la función exponencial f (x) = 2x Está representada en color NEGRO La base es un número y el exponente es la variable independiente. Sea la función polinómica f (x) = x2 Está representada en color ROJO La base es la variable independiente y el exponente es un número. 9 8 f (x) = x2 f (x) = 2x 4 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS La función y = 2-x =(1/2)x 8 y Sea y = (1/2)x Donde la base, a, vale ½ . Muy importante: Siempre a > 0 Tabla de valores x y - 4 16 - 3 8 - 2 4 - 1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8 4 Gráfica 2 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS FUNCIÓN LOGARÍTMICA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se llama FUNCIÓN LOGARÍTMICA a la expresión: y = log a x  f (x) = log a x Donde “a” es la base del logaritmo y x la variable. Funciones logarítmicas son: f(x) = log x , donde “a”, por omisión, vale 10. f(x) = ln x , donde la base es el número e. g(x) = log a f(x) , donde tenemos una función compuesta. Si a=10  LOGARITMOS DECIMALES (Base = 10) Si a= e  LOGARITMOS NEPERIANOS (Base = e) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 8 y La función y=log2 x y = 2x 4 Sea y = 2x La inversa de dicha función es: Tenemos: y = 2x  x = log2 x  y = log2 x Luego gráficamente será simétrica respecto a la recta y = x 2 y = log2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 8 y La función y = log1/2x y=(1/2)x Sea y = (1/2)x Donde la base, a, vale ½ . La inversa de dicha función es: Tenemos: y = (1/2)x  x = log1/2 x  y = log1/2 x Luego gráficamente será simétrica respecto a la recta y = x 4 2 y = log1/2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Gráfica de y = log x 1 0,5 Sea y = log x Tabla de valores x y -2 --- -1 --- 0 --- 0,2 -0,6990 0,4 -0,3980 0,8 -0,0970 1 0 2 0,3010 3 0,4773 y y = log x -1 0 1 2 3 x También la podíamos haber obtenido por simetría respecto a la recta y=x, sabiendo que es la inversa de y=10x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Gráfica de y = ln x Sea y = ln x Tabla de valores x y -2 --- -1 --- 0 --- 0,2 -1,6094 0,4 -0,9163 0,8 -0,2231 1 0 2 0,6931 3 0,9861 y 1 0,5 y = ln x -1 0 1 2 3 x También la podíamos haber obtenido por simetría respecto a la recta y=x, sabiendo que es la inversa de y = ex @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Comparativa y propiedades Sea y = log x e y = ln x En general, si y = loga x , a > 1 , se cumple: El domino es Dom f(x) = R+ El recorrido es Img f(x) = R Es siempre creciente en R+ Sea cual sea la base, “a” corta al eje de abscisas en el punto PC(1, 0) El eje de ordenadas es una ASÍNTOTA de la función, pues ésta tiende a converger con el eje. y y = ln x y = log x 0 1 2 3 x Aunque para valores grandes de x, el valor de y casi es cte, éste sigue creciendo hasta el infinito, por ello la Img f(x) es R. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS