@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 SIMETRIAS Bloque II * Tema 070.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 SIMETRIAS Bloque II * Tema 070

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 Dado un punto M, los puntos A y A’ son simétricos en la simetría central de centro M cuando M es el punto medio del segmento de extremos A y A’. x2 + x1 y2 + y1 xo = ---------- ; yo = ---------- 2 2 d (A, M) =d (A’, M) √ [ (x 2 – xo) 2 + (y 2 – yo) 2 ] = √ [ (x 1 – xo) 2 + (y 1 – yo) 2 ] M(xo, yo) A’ (x 2, y 2 ) A (x 1, y 1 )x y SIMETRÍA CENTRAL Ejemplo Hallar el simétrico del punto A(2, -3) respecto al punto M(0, 5) 2 + x2 – 3 + y2 0 = ---------- ; 5 = ------------ 2 2 2 + x2 = 0  x2 = - 2 - 3 + y2 = 10  y2 = 13 Punto simétrico: A’ (- 2, 13)

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 Dado una recta fija, r, llamada eje de la simetría, los puntos A y A’ son simétricos en la simetría axial de eje r, cuando el segmento AA’ es perpendicular a r y además el punto de corte de dicho segmento con el eje es su punto medio. M(xo, yo) A’ (x 2, y 2 ) A (x 1, y 1 )x y SIMETRÍA AXIAL Ejemplo 1 Hallar el simétrico del punto A(0, 3) respecto a la recta r: x + y – 9 = 0 La pendiente de r vale m= -1 La pendiente de AA’ es m’=-1/m = 1 La recta AA’ es: s: y – 3 = x El punto de corte, M, será: r: y = – x – 9 s: y = x + 3 x+3 = – x – 9  x = – 6  y = – 3 Por ser punto medio, tenemos: - 6 =(0+x2)/2 ; - 3 = (3 + y2) / 2 x2= - 12,, y2= - 9  A’(- 12, - 9) r

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 SIMETRÍA AXIAL Ejemplo 2 Hallar el valor de p en la simetría axial de eje r: 3x + y + p = 0, para que los puntos A(2, 4) y A’(- 1, 3) sean simétricos. La pendiente de AA’ es m’=(4 – 3)/(2 – (– 1))=1/3 El punto medio es: xo =(2 – 1)/2 = 0,5 ; yo = (4+3)/2 = 3,5  M(0’5, 3’5) Hallamos la pendiente del eje r: m= - A/B = -3/1 = - 3 Vemos que el segmento AA’ es perpendicular al eje r, pues 1/3.(-3)=-1 Finalmente M debe pertenecer al eje r: 3x + y + p = 0 3.0’5 + 3’5 + p = 0  1’5 + 3’5 + p = 0  p = – 5 De todas las infinitas rectas. Será eje de simetría axial: r: 3x + y – 5 = 0

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 SIMETRÍA AXIAL Ejemplo 3 Hallar el valor de p en la simetría axial de eje r: 5x – 10y +p = 0, para que los puntos A(5, 3) y A’(- 2, p) sean simétricos. La pendiente de r vale m= -A/B = 5/10 = 0,5 La pendiente de AA’ es m’=-1/m = -1/ 0,5 = - 2 La recta AA’ es: s: y – 3 = - 2(x – 5), tomando el punto A y el valor de m’. El punto A’(-2, p) debe pertenecer a la recta AA’ s: p – 3 = - 2 (- 2 – 5)  p = 14 + 3 = 17 Si p = 17 el segmento AA’ es perpendicular al eje r. Pero no sabemos si A’(-2, 17) es el simétrico de A(5, 3). Hallamos el punto medio: xo =(-2+5)/2 = 3/2 = 1,5 ; yo = (17+3)/2 = 20/2 = 10  M(1’5, 10) Finalmente M debe pertenecer al eje r: 5x – 10y + 17 = 0 5.1’5 – 10.10 + 17 = 0  7’5 – 100 + 17 = 0  – 75,5 = 0 FALSO NO HAY ningún valor de p que haga A y A’ puntos simétricos respecto a r