BINOMIO DE NEWTON NÚMEROS COMBINATORIOS

NÚMEROS COMBINATORIOS Dados dos números naturales, m y n, donde m ≥ n , se denomina número combinatorio y se lee “combinaciones de m en n” a: Se determina que: 1! = 1 y 0! = 1 PROPIEDADES

NÚMEROS COMBINATORIOS

NÚMEROS COMBINATORIOS

BINOMIO DE NEWTON Observar las potencias: Fijarse en los coeficientes: (a+b) = 1 1 1 (a+b) = a + b 1 1 2 2 2 (a+b) = a + 2.a.b + b 1 2 1 3 3 2 2 3 (a+b) = a + 3.a .b + 3.a.b + b 1 3 3 1 4 4 3 2 2 3 4 (a+b) = a + 4.a . b + 6.a . b + 4.a. b + b 1 4 6 4 1 . . . Forman un triángulo llamado: Triángulo de Pascal

PROPIEDADES Sea el desarrollo siguiente : (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81 PROPIEDADES 1.- El número de sumandos o términos del desarrollo siempre es igual al número del exponente más uno. 2.- Los coeficientes numéricos forman siempre un triángulo, donde un coeficiente cualquiera es siempre igual a la suma de los dos coeficientes que están por encima de él. 3.- El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo e igual al exponente del binomio. 4.- El grado del primer término del binomio, de ‘a’, va disminuyendo desde el valor del exponente hasta cero.

Sea el desarrollo siguiente : (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81 PROPIEDADES 5.- El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va aumentando desde cero hasta el valor del exponente. 6.- La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’ , en todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo e igual al exponente del binomio. 7.- Si el binomio es una resta en lugar de una suma, los términos de lugar par del desarrollo serán de signo negativo. 8.- Los coeficientes numéricos presentan siempre simetría. Son todos ellos combinaciones sin repetición: C m,n (donde ‘m’ es el exponente del binomio y ‘n’ varía de 0 a ‘m’)

EJEMPLOS: (x + 2)5 = C5,0 .x5 + C5,1 .x4 .2 + C5,2 .x3 .4 + C5,3 .x2 .8 + C5,4 .x .16 + C5,5 . 32 (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81 (4 – x)5 = C5,0 .45 – C5,1 .44 .x + C5,2 .43 . x2 – C5,3 .42 . x3 + C5,4 . 4. x4 – C5,5 . x5 (x + 1)17 = C17,0 .x17 + C17,1 .x16 + C17,2 .x15 + …. + C17,16 .x + C17,17 (x + 3)5000 = C5000,0 .x5000 + C5000,1 .x4999 .3 + C5000,2 .x4998 .9 + … + C5000,5000 . 35000 (– 2.x – 3)9 = C9,0 .(- 2x)9 + C9,1 .(- 2x)8 .(- 3) + C9,2 .(- 2x)3 .(- 3)2 +…. + C9,9 .(- 3)9

EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 k k m-k m m (a+b) = C .a + C .a . b + C . a . b + ... + C . a . b + ... + C . b m m m m m Ejemplo 1: Hallar el término que ocupa el 6° lugar en el desarrollo de : 8 (3 – x) Tendrá 9 términos su desarrollo ( 8 + 1 ), pero sólo nos piden el 6º término. Seguimos desarrollando el Triángulo de Pascal hasta la 9ª fila, obteniendo: 1 8 28 56 70 56 28 8 1 tomamos el 56 Igualmente podíamos haber hecho C8,6-1 = C8,5 = 56 Como ocupa lugar par y el binomio es una resta, pondremos -56 al coeficiente. Ahora, en nuestro ejemplo: a = 3 y b = x 8 3 5 Finalmente, aplicando las restantes propiedades : (3-x) = ... - 56. 3 . x + ...

Ejemplo 2: Hallar el término que ocupa el 8° lugar en el desarrollo de : 11 (x + 2) Tendrá 12 términos su desarrollo ( 11 + 1 ), pero sólo nos piden el 8º término. C11,8-1 = C10,7 = 10! / 7!.3! = 10.9.8/6 = 15.8=120 11 4 7 4 Finalmente queda: (x+2) = ... + 120. x . 2 + ... = 15360.x Ejemplo 3: Hallar el término que ocupa el 3° lugar en el desarrollo de : 27 (x - 5) Tendrá 28 términos su desarrollo ( 17 + 1 ), pero sólo nos piden el 3º término. C27,3-1 = C27,2 = 27! / 2!.25! = 27.26/2 = 351 27 25 2 25 Finalmente: (x – 5) = ... – 351. x . 5 + ... = … – 8775.x + …