Binomio de Newton LiceoProm14.tk.

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1 Binomio de Newton LiceoProm14.tk

2 Cuadrado de un binomio El cuadrado de un binomio es uno de los casos más sencillos cuando elevamos un binomio a una potencia. Para estos casos, son conocidas las fórmulas "el cuadrado del primero más (o menos) el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo", es decir: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

3 Binomio de Newton Si generalizamos esto para cualquier exponente n, tenemos lo que se conoce como "Binomio de Newton". Según esta fórmula, los coeficientes del desarrollo de 𝑎+𝑏 𝑛 son los números combinatorios mientras que los términos van disminuyendo el grado de a de uno en uno y aumentando el de b de uno en uno (de forma que la suma de los exponentes siempre es n.

4 Desarrollo de una potencia 𝑎+𝑏 𝑛
Un coeficiente cualquiera del desarrollo se obtiene multiplicando el coeficiente anterior al que deseamos calcular, por el exponente de “a” y luego dividiéndolo entre el exponente de “b” aumentado en la unidad. .

5 Desarrollo de una potencia 𝑎+𝑏 𝑛
Generalidades acerca de la potencia 𝑎+𝑏 𝑛 : La cantidad de términos en el desarrollo será igual al grado del binomio más uno. Los exponentes de 𝑎 van decreciendo, desde 𝑛 hasta cero, y los de 𝑏 van creciendo, desde cero hasta 𝑛. Si el exponente es entero negativo o fraccionario el desarrollo admite infinidad de términos. La suma de los exponentes de cada término es siempre 𝑛.

6 Ejemplos (a + b)4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (2 – 3b)4 = 16 – 96b
Se puede observar que en el desarrollo de cada potencia los exponentes de “a” van decreciendo de n hasta 0 y los exponentes de “b” van creciendo de 0 hasta n.

7 Fórmula del Binomio de Newton
Isaac Newton desarrollo una fórmula que permite calcular los coeficientes de las expresiones utilizando números combinatorios (𝑛𝐶𝑟). El siguiente teorema es el propio conocido como Binomio de Newton:

8 Aplicación Utilizando la fórmula anterior, resolver 5𝑥+𝑦 6 = 6 0 5𝑥 6
= 𝑥 6 𝑥 5 (𝑦) 𝑥 4 𝑦 2 𝑥 3 𝑦 3 5𝑥+𝑦 6 𝑥 2 𝑦 4 (5𝑥) 𝑦 5 𝑦 6 5𝑥+𝑦 6 = 5𝑥 6 +6 5𝑥 5 (𝑦) +15 5𝑥 4 𝑦 2 +20 5𝑥 3 𝑦 3 +15 5𝑥 2 𝑦 4 +6 5𝑥 𝑦 5 + 𝑦 6 5𝑥+𝑦 6 =15625 𝑥 𝑥 5 𝑦+9375 𝑥 4 𝑦 𝑥 3 𝑦 𝑥 2 𝑦 4 +30𝑥 𝑦 5 + 𝑦 6

9 Triángulo de Pascal LiceoProm14.tk

10 Triangulo de Pascal El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico. Debe su nombre a Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés. Las aplicaciones de este triángulo son muy diversas, por ejemplo, para hallar los coeficientes del Binomio de Newton, entre otras.

11 Construcción del Triángulo
Se comienza en el número “1” centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...

12 Construcción del Triángulo
(𝑎+𝑏) 𝑎+𝑏 2 𝑎+𝑏 3 𝑎+𝑏 4

13 Propiedades El número superior es un 1, la segunda fila corresponde a los números combinatorios de 1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y así sucesivamente.

14 Propiedades La primera diagonal está formada por "unos", y la siguiente son todos los números consecutivamente (1, 2, 3, etc.)

15 Propiedades Todas la filas empiezan y acaban en 1.
Todas las filas son simétricas, se ven igual de la izquierda que de la derecha. Cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él. Diapositivas por Ruth Masferrer y Rodrigo Arévalo