Matemáticas 2º Bachillerato C.S. MATEMÁTICAS A. CS II Tema 9 * Integrales @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Tema 9.2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

INTEGRALES INMEDIATAS (I) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. Ejercicios (I) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

INTEGRALES INMEDIATAS (II) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. Ejercicios (II) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. Ejercicios (II) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Dada una función f(x) no siempre es posible calcular su integral; unas veces porque no se trata de una función de las estudiadas hasta ahora y otras veces porque aún siéndolo no sabemos determinarla. Pero en muchos casos, mediante ciertos métodos de cálculo, se pueden determinar las integrales de ciertos tipos de funciones. INTEGRAL LOGARÍTMICA La derivada de la función y = L f(x), sabemos que es y ’ = f ’(x) / f(x) Por consiguiente: f ’(x)  ------- dx = L x + C f (x) La integral indefinida del cociente de dos funciones, cuando el numerador es la derivada del denominador, es igual al logaritmo neperiano del denominador, más una constante. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. Ejercicios. Calcula mentalmente: 2x l. Calcular la integral indefinida de f(x) = ---------- 1 + x2 2. Calcular la integral indefinida de f(x) = tg x. Clave: tg x = sen x / cos x ex + 1 3. Calcular la integral indefinida de f(x) = ---------- ex + x Resolución parcial: l. 1 + x2 = t  2.x dx = dt  I = ln t + C 2. cos x = t  - sen x dx = dt  I = - ln t + C 3. ex + x = t  (ex + 1) dx = dt  I = ln t + C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN Según las propiedades de la integral indefinida:  [f(x) + g(x)] dx =  f(x)dx +  g(x)dx Lo que permite calcular la integral indefinida de una función cuando la función a integrar se puede expresar como suma de dos o más funciones de integral conocida. Ejemplos: 2 1.  (x+2) dx =  x dx +  2 dx = x / 2 + 2. x + C 2. x + 1 1 1  ---------- dx =  (1 + --- ) dx =  1 dx +  --- dx = x + Lx + C x x x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE A veces, para calcular una integral  f(x) dx se efectúa un cambio de variable x = g(t) Sustituyendo x por g(t) y dx por g'(t)dt y entonces resulta:  f(x) dx =  f [ g (t) ] g'(t) dt Ejemplo_1 3x 1.  e dx ; haciendo 3x = t , y derivando... 3 dx = dt  dx = dt / 3 t t t 3x luego  e dt / 3 = 1 / 3 .  e dt = 1 / 3 e + C = 1 / 3 e + C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

Matemáticas 2º Bachillerato C.S. Ejemplo_2: 5 2.  sen x cos x dx ; haciendo sen x = t , y derivando... cos x dx = dt 6 5 5 5+1 sen x luego  sen x .cos x dx =  t dt = t / (5+1) + C = ---------- + C Ejemplo_3: 2 2 3.  2.x. sen x dx ; haciendo sen x = t , y derivando... 2.x dx = dt 2 2 Luego  2.x.sen x dx =  sen t dt = - cos t + C = - cos x + C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.