CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

1.CONCEPTO: Triangulo es la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no coloniales mediante segmentos. Ángulos interiores: A n a b s Q B Ángulos exteriores: C m M, N y S ELEMENTOS: Vértices: A, B, C Lados: AB, AC y BC

b a a b q a 2.CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS a) De acuerdo a sus lados: b q 60° a 60° 60° Triángulo escaleno Triángulo equilátero b a a Triángulo isósceles

b a q a a > 90° b) De acuerdo a la medida de sus ángulos. Triángulo acutángulo a Triangulo obtusángulo a > 90° Triángulo rectángulo

b b a x a z y q q 3.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS La suma de los ángulos internos es igual a 180°. Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos exteriores no adyacentes a él.

b q a x x z y X + y + z = 360° Aplicaciones: La suma de loa ángulos exteriores es igual a 360°

b q a d a b y x

Ejemplos En los gráficos encuentra el valor de «x» indicando la propiedad. 78° x 20° 46° 35° x Desarrollo: Por ángulo exterior Desarrollo: Por ángulo exterior X = 78° + 46° = 124° 35° = 20° + x X = 15°

x x x 50° 100° 100° X = 80° Desarrollo: Desarrollo: 50° 80° 80° El triángulo es isósceles El triángulo es isósceles X = 80° X = 20°

A A B E 40° x D C B E 40° x D C El triángulo A, B, C es equilátero. Suplemento de 60° = 120° En el triángulo E , C, D 40° x D C A X + 40° + 120° = 180° Desarrollo: B X = 20° E 40° 60° 120° x D C A

x 70° 40° 30° X = 30° + 70° + 40° X = 140° X + 20° X + 10° X + 30° Desarrollo: Desarrollo: X + 20 + x + 10 + x + 30 = 180 X = 30° + 70° + 40° X = 140° X = 40°

70° x 70° x 60° 50° 80° 50° X + 70° = 50° + 80° X + 60° = 70° + 50° Desarrollo: Desarrollo: X + 70° = 50° + 80° X + 60° = 70° + 50° X = 60° X = 60°

LÍNAEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

q q b b I m q q m LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO a) Bisectriz interior. b b I m q q q m q Todo triángulo tres bisectrices interiores que concurren en un punto llamado incentro ( I ) La bisectriz interior divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

a E a a b a b B C A H a) Bisectriz exterior Dos bisectrices exteriores y una interior concurren en un punto llamado ex centro ( E ) a E a a b a b b) Altura. B La altura es el segmento trazado desde un vértice, perpendicular al lado opuesto. BH es la altura. C A H

C B N M B H A O Q A H C La altura puede caer en prolongación del lado. Todo triángulo tiene tres alturas que concurren en un punto llamado orto centro ( O )

C M A B G d) Mediana La mediana es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto . AM es la mediana. M A B Las tres medianas concurren en un punto llamado baricentro ( G ) G

B Q C A C A B e) Ceviana La ceviana es un segmento que une un vértice con su lado opuesto. Q C A f) mediatriz La mediatriz es una recta que divide a uno de los lados de un triángulo en partes iguales formando un ángulo recto. C A B

Los tres mediatrices concurren en el circuncentro ( M ) M

B R C A B R C X = 110° A 70° a x a 30° 70° 40° x 40° 30° Ejemplos: 1.Encuentra el valor de «x» B 70° R a x a 30° C A Desarrollo: B En el triángulo ABC 70° R AR es bisectriz, por lo Tanto: 40° x a = 40° 40° 30° C X = 110° A

2.Encuentra el valor de «x» . Si AH es altura. 3.En la figura encuentra el valor de «x» B B x H X 20° 70° C 50° A C R A Desarrollo: Desarrollo: AHB es un triángulo rectángulo por lo tanto: BRA es un triángulo rectángulo. X + 70° = 90° Suplemento de 70° =110° X = 20° Del triángulo ABC X = 20°

A X + 5m M B C MB = X + 5m AB = X + 5m + x + 5m 20m = 2x + 10m X = 5m 4.Halla el valor de «x» si AB = 20m. A X + 5m M B C Desarrollo: MB = X + 5m AB = X + 5m + x + 5m 20m = 2x + 10m X = 5m

B 15cm M X + 2cm C A 15cm = x + 2cm X = 13cm 5.En la figura, halla el valor de «x». Si AM es mediana. B 15cm M X + 2cm C A Desarrollo: 15cm = x + 2cm X = 13cm

PROPIEDADES DE LAS LÍNEAS NOTABLES

C C q q x a a X a b b B B A A PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ 2.Ángulo formado por una bisectriz interior y exterior. 1.Ángulo formado por dos bisectrices interiores. C C q q x a b a b X a a b b B A B A

x B a a a q q b b m C A H M 3.Angulo formado por dos bisectrices exteriores. ÁNGULO ENTRE LA ALTURA Y UNA BISECTRIZ EXTERIOR. B a x a a a q b q b b m C A H M

C M G B A P AM, CP medianas AG = 2 GM CG = 2 GP PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS C M G B A P AM, CP medianas AG = 2 GM CG = 2 GP

B L L, M,N son mediatrices a AC = BC = CD M C b N q D A PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ B L L, M,N son mediatrices a AC = BC = CD a M C b q N b q D A

Ejemplos. 1.Halla e l valor de «x» b b x 20° x a b a a 25° Desarrollo:

70° x 90° = x b° b 135° a° a Desarrollo: 3.Encuentra el valor de «x»

a 20° = x x X° b° b° a° a° 80° b 150° Desarrollo: 5.Halla el valor de «x» 6.Halla el valor de «x» x a X° b° a a° b° a° b 80° 150° b Desarrollo: Desarrollo: 20° = x

Ejercicios de reforzamiento

1.Del gráfico encuentra el valor de «x» 30° Nuevamente aplicando a x b a b 150° Reemplazando: X = 60° + 30° Desarrollo: X = 90° Por:

3( 70°) – x = 180° - X = 180° - 210° X = 30° x 2a a 70° q 2 q 2.En la figura, halla «x» 3( 70°) – x = 180° 2a - X = 180° - 210° a 70° q X = 30° x 2 q Desarrollo: Por suma de los ángulos exteriores en un triángulo se tiene:

a q C M A H Por propiedad 3.En el triángulo ABC, Halla la medida que forman la altura y la bisectriz interior que parte de B. Desarrollo: B a a q C M A H

B P 40° 20° C A H Desarrollo: B P 50° 70° 20m 70° 40° 20° 20° C 4.En la figura , halla HP, Y BC = 20 m B P 40° 20° C Por dato: A H Desarrollo: B P 50° 70° 20m Se observa: BP = PC = HP Los dos triángulos son isósceles. 70° 40° 20° 20° C HP = 10 cm A H

5.En un triángulo isósceles ABC ( AB = BC ), se traza la ceviana CN y sobre ella se ubica el punto R. sí BN = BR y , halla Desarrollo: B Entonces: 36° N a a Por ángulo exterior del triángulo BCR y ACN se observa: R q- x q x C A Igualando las ecuaciones se tiene: Triángulo BNR isósceles. Por dato X = 18°

6.En un triángulo ABC, . Sobre AC y BC se ubica Los puntos R y S, respectivamente. Sí AB = BS = SR y , halla Desarrollo: B 60° x 20° S 60° 60° 80° 80° 40° 20° C A R Por ángulo exterior: Triángulo BRS es equilátero. Triángulo ABR isósceles

B x x 40° x B C A x x 40° x 60° 60° 80° C A X = 100° - x + 60° 100°- x 7.En la figura ABC es equilátero. Halla «x» B x x 40° x B C A x x 40° x Desarrollo: 60° 60° 80° C Por ángulo exterior: A X = 100° - x + 60° 100°- x X = 80°

q a 8.Halla el valor de «x» En el triángulo ABC: 50° + X + a + q+ 40° = 180° X = 170° - ( a- q) 9.En la figura, halla Desarrollo: B A a q a + q+ 40° C

A Desarrollo: 10.Halla «x» Por ángulos formado por bisectrices exteriores En el triángulo APR: El ángulo pedido es:

A D 2b B C X = 30° Desarrollo: Por ángulo exterior: En el triángulo DBC A X +b D Por 2b Resolviendo: B C X = 30°

q 4q 11.Halla Por ángulo formado de las bisectrices exteriores ( ver fig ) 4q q Desarrollo: 90°- q B Resolviendo: E D q = 22,5° A C 90° - Q

X = 20° x 12.Halla «x» Por ángulo formado por una bisectriz interior y exterior: 4x 4x B Desarrollo: x C Resolviendo: A X = 20° E x D

a 13.Halla el valor de «x» Luego: X + q 150° Desarrollo: Se observa que: Resolviendo: X + q X = 30°

50° 50° q 120° - q 14.Halla «x», si PQ = PR Desarrollo: Entonces:

a = 32° 15.Halla «a» si . De la condición: Desarrollo: 90°- ( a + q )