RECTAS

RECTAS Una recta es una línea, tal que para cualquier par de puntos distintos de dicha línea el segmento de longitud mínimo que los une está contenido en la recta. Una recta queda determinada: Si se conoce un punto cualquiera de la recta y un vector director. Si se conoce dos puntos cualesquiera de la recta

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA. Dado un punto A = A(a,b), de una recta r, que tiene de vector director v = v(v 1,v 2 ). Para cada punto P = P(x,y) de la recta r existe un número real, que cumple la siguiente ECUACIÓN VECTORIAL: AP =. v.=>A(a,b)P(x,y) =. v(v 1,v 2 ). EJEMPLO.- Si A = A(1,0) es un punto de la recta r, que tiene como vector director a v = v(1,1). Su ecuación vectorial será: Afijo o coordenadas (a,b) de A Coordenadas (v 1,v 2 ) de v Afijo o coordenadas (x,y) de los puntos de r A = A(a,b) v = v(v 1,v 2 ) r (1,0) (x,y) =. (1,1)

ECUACIÓN PARAMÉTRICA, CONTINUA Y GENERAL DE LA RECTA. A partir de la ECUACIÓN VECTORIAL de la recta r: r : A(a,b)P(x,y) =. v(v 1,v 2 ). ( x-a, y-b ) (.v 1,.v 2 ) Obtenemos las ECUACIONES PARAMÉTRICAS de r: Despejando en las dos ecuaciones e igualando, obtenemos la ECUACIÓN CONTINUA: Quitando denominadores e igualando a cero, obtenemos la ECUACIÓN GENERAL de r:

EJEMPLO: Las ecuaciones paramétricas, continua y general de la recta que pasa por el punto (1,2) y que tienen un vector (3,-1). Las ECUACIONES PARAMÉTRICAS serán: La ECUACIÓN CONTINUA será: La ECUACIÓN GENERAL será:

PENDIENTE DE LA RECTA. ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE. Si v = v(v 1,v 2 ) es el vector director de la recta r, la pendiente m del ángulo formado entre la recta y el eje de abscisas será : Tangente de un ángulo: C. Opuesto / C. contiguo Pendiente m de la recta Ángulo de r con el eje de abscisas A v = v(v 1,v 2 ) r B v 2 v 1 Además, de la ecuación continua se obtiene: La ecuación PUNTO PENDIENTE de la recta r:

EJEMPLO: Las ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto (-2,-1) y forma un ángulo de 30º con el eje de abscisas será

ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA. Despejando y de la ecuación PUNTO PENDIENTE de la recta r se obtiene : Que se denomina ecuación EXPLÍCITA de la recta r: Teniendo en cuenta que para x = 0, y = n. n es la ordenada en el origen. Ver ECUACIONES DE UNA RECTA (figura de CABRI).

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Teniendo en cuenta que si dos rectas tienen la misma pendiente son paralelas, podemos deducir que dos rectas r y s de ecuaciones: GENERALEXPLÍCITA r = a x + b y + c = 0r : y = m x + n s = a’ x + b’ y + c’ = 0s : y = m’ x + n’ r y s son SECANTES si se cumple: a / a’  b / b’om  m’ r y s son PARALELAS si se cumple: a / a’ = b / b’om = m’ r y s son la misma recta si se cumple: a / a’ = b / b’ = c / c’om = m’ ; n = n’

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