Matemáticas 1º Bachillerato CT DÍA 04 * 1º BAD CT NÚMEROS COMPLEJOS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 1

Matemáticas 1º Bachillerato CT LOS NUMEROS COMPLEJOS La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en el campo de los números reales. Al tratar de resolverla nos da: x=±√-1 Igual ocurre con la ecuación x2+3x +5=0 Al resolverla nos da – 3 ± √(9 – 20) – 3 ± √(–11) x=--------------------- = ------------------- 2 2 loge(-2) no es un número real, pues ya se dijo que no existen logaritmos de números negativos. Tampoco es un número real (-2)p , pues no existen potencias de base negativa y exponente no entero. Estos ejemplos, entre otros muchos, hacen necesario en matemáticas un nuevo tipo de números llamados NÚMEROS COMPLEJOS. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT NÚMEROS IMAGINARIOS Hasta ahora sólo se había operado con números reales. Hay multitud de veces que al operar obtenemos resultados “raros”, como una raíz cuadrada de - 4 Son los llamados NÚMEROS IMAGINARIOS. Si los números reales se representan sobre el eje Real o eje de las X, los números imaginarios se representan sobre el eje Imaginario o eje de las Y. Si la unidad de los números reales es el 1, la unidad de los números imaginarios es el “i”, cuyo valor es la raíz cuadrada de - 1. i = √-1 i 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT FORMA BINÓMICA FORMA BINÓMICA DEL NÚMERO COMPLEJO Todo número que gráficamente se encuentre sobre el eje de las X ( eje R) será un número real. Todo número que gráficamente se encuentre sobre el eje de las Y ( eje I) será un número imaginario. Así las cosas, todo punto que no esté sobre alguno de los ejes, tendrá una componente real y otra imaginaria. Son los llamados NÚMEROS COMPLEJOS. Los números complejos se representan por la letra Z. El punto que simboliza gráficamente el número complejo se llama AFIJO. Al tener dos partes bien distintas, esa primera forma de expresar un número complejo como suma de otros dos, uno real y otro imaginario, se llama forma BINÓMICA. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Los números complejos en forma binómica se escriben: z = a + bi Donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. Si b = 0  tenemos un número real Si a = 0  tenemos un número imaginario puro Al resolver las ecuaciones: La primera tiene como soluciones x = i y x = - i La segunda tiene como soluciones x = 2i y x = - 2i Ambas soluciones son números imaginarios. Dos números complejos son iguales, si sus partes reales e imaginarias son iguales respectivamente. Ejemplo: z1 = a+bi ,, z2 = c+di Si z1=z2  a=c y b=d @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 5

Matemáticas 1º Bachillerato CT El opuesto a un número complejo es el que presenta ambas partes ( real e imaginaria) opuestas a las originales. El opuesto de z = a + bi es – z = – a – bi Un número complejo conjugado de otro tiene igual su parte real y opuesta su parte imaginaria: Ejemplos _ z= 3 – 4i  -z = - 3 + 4i z = 3 + 4i z= – 4 + 3i  -z = 4 – 3i z = 4 + 2i z= – 12 – 5i  -z = 12 + 5i z = – 12 + 5i z= 6 + 8i  -z = – 6 – 8i z = 6 – 8i @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 6

Matemáticas 1º Bachillerato CT SUMAS Y RESTAS SUMA El resultado de la suma de dos o más nºs complejos es otro nº complejo, cuya parte real es la suma de las partes reales, y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. Sean los nºs complejos: z1 = a+bi , z2 = c+di z1+z2 = (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i Ejemplo: (3 – 2i)+(2 + 3i) = (3+2)+(– 2+3)i = 5 + i Ejemplo: (4 – 5i)+(– 3 + 5i) = (4+(– 3))+(– 5+5)i = 1 + 0i = 1 RESTA Idem de la suma, con la salvedad de que ahora no existe la propiedad commutativa; o sea que no es lo mismo z1 – z2 que z2 – z1. Ejemplo: (3 – 2i) – (2 + 3i) = (3 – 2)+(– 2 – 3)i = 1 – 5i Ejemplo: (2 + 3i) – (3 – 2i) = (2 – 3)+(3 – ( – 2))i = – 1 + 5i @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT PRODUCTOS PRODUCTO La unidad de los números imaginarios se ha dicho ya que es i =√-1 Según eso observar la siguiente tabla con atención: i = i i2 = i.i = √-1 √-1 = - 1 i3 = i.i.i = √-1 √-1 i = - 1.i = - i i4 = i.i.i.i = √-1 √-1 √-1 √-1 = (- 1).(- 1) = 1 Pues bien: z1.z2 = (a+bi).(c+di) = a.c+a.d.i+b.i.c+b.i.d.i = = a.c + b.d.(i.i)+(a.d+bc)i = ( a.c - b.d )+(a.d+bc)i Ejemplos: (3+4i).(2+5i) = 3.2+3.5i+4i.2+4i.5i = 6 + 15i + 8i +20i2 = – 14 + 23i (–2+3i).(1+i) = – 2.1+(–2)i+3i.1+3i.i = – 2 – 2i + 3i + 3i2 = – 5 + i (–2i).(–1 – i ) = (–2i).(–1) + (–2i).(– i) = 2i + 2i2 = 2i – 1 = –1 + 2i @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT DIVISIÓN Cociente de números complejos: se racionaliza el denominador. Para ello se multiplica numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador. Con lo cual se consigue eliminar la parte imaginaria del denominador Ejemplo 3 – 2i (3 – 2i).(4 – 3i) 12 – 9i – 8i + 6i2 6 – 17i 6 17 ---------- = --------------------- = ------------------------- = ------------ = ---- – ---- i 4 + 3i (4 + 3i).(4 – 3i) 16 – 9i2 16 + 9 25 25 – 2i (– 2i).(1 + i) – 2i – 2i2 2 – 2i 2 2 ---------- = ------------------ = ------------- = ------------ = ---- – ---- i = 1 – i 1 – i (1 – i) .(1 + i) 1 – i2 1+1 2 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 9

Matemáticas 1º Bachillerato CT INVERSO El inverso de z es el número: _ _ 1 z z z -1 = ---- = -------- = ------- z _ |z|2 z. z Ejemplos 1 (3 + 4i) 3 + 4i 3 + 4i 3 + 4i (3 – 4i) -1 = ---------- = --------------------- = ----------- = --------- = ---------- 3 – 4i (3 – 4i) (3 + 4i) 9 + 16 25 52 1 (– 1 + i) – 1 + i – 1 + i – 1 + i (– 1 – i) -1 = ---------- = ------------------------ = ----------- = --------- = ---------- – 1 – i (– 1 – i) (– 1 + i) 1 – i2 2 (√2)2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 10

POTENCIAS DE COMPLEJOS BINOMIO DE NEWTON m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 m m (a+b) = C .a + C .a . b + C . a . b + ... ... + C . b m m m m Las potencias de números complejos se hacen desarrollando la potencia del binomio (Newton) y teniendo en cuenta las potencias de i. m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 2 m m m (a+bi) = C .a + C .a . b.i + C . a . b .i + ...... + C . b . i m m m m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 11

Ejercicios de POTENCIAS 1.- (2 – 3i)3 = C3,0 .23 – C3,1 .22 .3i + C3,2 .2 . (3i)2 – C3,3 .(3i)3 = = 8 – 3.4.3i + 3.2.9i2 – 27.i3 = 8 – 36i – 54 + 27i = – 46 – 9i 2.- (1 + 2i)4 = C4,0 + C4,1 . 2i + C4,2 . (2i)2 + C4,3 .(2i)3 + C4,4 .(2i)4 = = 1 + 4.2i + 6.4i2 + 4.8i3 + 16i4 =1+ 8i – 24 – 32i + 16 = – 7 – 24i 3.- (– 1 + i)3 = C3,0 .(-1)3 + C3,1 .(-1)2 .i + C3,2 .(-1) . i2 + C3,3 .i3 = = – 1 + 3.1.i + 3.(-1).i2 + i3 = – 1 + 3i + 3 – i = 2 + 2i 4.- (1 – i)5 = C5,0 – C5,1 . i + C5,2 . i2 – C5,3 .i3 + C5,4 .i4 – C5,5 .i5 = = 1 – 5.i + 10.i2 – 10.i3 + 5.i4 – i5 = 1 – 5i – 10 + 10i + 5 – i = – 4 – 4i 5.- (3 – 2i)7 = C7,0 37 – C7,1 . 36 .i + C7,2 . 35 i2 – C7,3 . 34 i3 + C7,4 . 33 i4 – – C7,5 . 32 i5 + C7,6 . 3. i6 – C7,7 .i7 = 2347 – 7.739.2.i + 21.243.4.i2 – – 35.81.8.i3 + 35.27.16.i4 – 21.9.32.i5 + 7.3.64.i6 – 128.i7 = = 2347 – 10346i – 20412 + 22680i + 144720 – 6048i – 1344 + 128i @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 12

Ejercicios propuestos @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 13

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Representación gráfica de un número complejo Sobre unas coordenadas cartesianas se representa en el eje de abscisas la componente real y en el de ordenadas la componente imaginaria. Asociamos a cada número complejo un vector, cuyo origen es el origen de coordenadas, O, y cuyo extremo es el punto de coordenadas (a,b), al que llamamos afijo del número complejo. z1= 4+5i z3= – 2+3i z1= – 2i @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 14

REPRESENTACIÓN GRÁFICA z1= 4+5i z3= – 2+3i _ z1= – z1 = 2i _ z3= – 2 – 3i - z3= 2 – 3i z1= – 2i _ z1= 4 – 5 i –z1= – 4 – 5i @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 15

Matemáticas 1º Bachillerato CT MÓDULO Y ARGUMENTO El módulo de un número complejo es el módulo del vector que le representa. El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas con el vector que representa al número complejo. Ejemplo z1=-1+i  arg z = α  tg α = 1/(-1)  α = arctg -1 = 135º z2=1 – i  arg z = α  tg α = -1/1  α = arctg -1 = 225º En ambos casos nos da aparentemente el mismo ángulo. Para saber cual de los dos ángulos que cumplen la condición es el argumento, se miran los signos de a y de b y se escoge el ángulo del cuadrante que corresponde con esos signos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 16

Matemáticas 1º Bachillerato CT Módulo y argumento Ejemplos z= 3 – 4i  |z| = √9+16 = 5 α = arctg -4/3 = - 53,13º z= – 4 + 3i  |z| = √16+9 = 5 α = arctg -4/3 = 233,13º z= – 12 – 5i  |z| = √144+25 = 13 α = arctg -5/-12 = 202,62º z= 6 + 8i  |z| = √36+64 = 10 α = arctg 8/6 = 53,13º z= – 10  |z| = √100+0 = 10 α = arctg 0/(-10) = 180º z= – 1 + i  |z| = √1+1 = √2 α = arctg -1 = 135º z= 6i  |z| = √0+36 = 6 α = arctg 6/0 = 90º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT