FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMICA DÍA 34 * 1º BAD CT

FUNCIÓN EXPONENCIAL Se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL a la expresión: f (x) = ex Es decir una potencia donde la base es el número “e” y el exponente la variable “x”. El número “e” es el número irracional de valor e = 2,718281 Funciones exponenciales son también: f(x) = ax , donde a debe ser un número positivo. g(x) = ef(x) , donde el exponente es otra función. h(x) = af(x) , donde a > 0 y el exponente es otra función. En general funciones exponenciales son todas aquellas potencias donde la variable independiente, x, forme parte del exponente. f (x) = k.[g (x)] h(x) se llaman funciones polinómico-exponenciales.

La función exponencial y Sea y = ex Tabla de valores x y -4 0,018 -3 0,050 -2 0,135 -1 0,368 0 1 1 2,718 2 7,389 3 20,085 Gráfica - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

Características de y = ax Sea la función: f(x) = ax Donde siempre a > 0 El eje X es siempre una asíntota horizontal. Corta al eje Y en el punto (0,1). Dom f(x) = R ,, Img f(x) = R+ La diferencia más importante de las funciones con ( 0 < a < 1 ) y a > 1 , es el CRECIMIENTO. Si 0 < a < 1  La función es DECRECIENTE. Si a = 1  f(x) = 1 Si a > 1  La función es CRECIENTE. f(x) = ax Para (0<a<1) f(x) = ax Para a>1 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

La función exponencial y=2x Sea y = 2x Donde la base, a, vale 2. Muy importante: Siempre a > 0 Tabla de valores x y - 4 1 / 16 - 3 1 / 8 - 2 1 / 4 - 1 1 / 2 0 1 1 2 2 4 3 8 8 y 4 Gráfica 2 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

La función exponencial y=2x y la función cuadrática y=x2 Sea la función exponencial f (x) = 2x Está representada en color NEGRO La base es un número y el exponente es la variable independiente. Sea la función polinómica f (x) = x2 Está representada en color ROJO La base es la variable independiente y el exponente es un número. y 9 8 f (x) = x2 f (x) = 2x 4 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3

La función y = 2-x =(1/2)x Sea y = (1/2)x Donde la base, a, vale ½ . Muy importante: Siempre a > 0 Tabla de valores x y - 4 16 - 3 8 - 2 4 - 1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8 8 y 4 Gráfica 2 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

La población mundial Un grupo de expertos en demografía tras estudiar el crecimiento de la población mundial, ha establecido que esta población, y, en función del año correspondiente, x, puede expresarse según la siguiente ecuación: y = 100,00389.x+2 a) Dibuja la gráfica de esta función. b) ¿En qué año la población alcanzó los mil millones?. c) ¿Y los 3 mil millones? d) Del mismo modo calcula en que año alcanzará los 6 mil millones de habitantes.

Declive de un valor Digamos que comenzaste un pequeño negocio y compraste una camioneta nueva para hacer entregas. La camioneta tuvo un costo de 25.000 € y de acuerdo a la ley de impuestos, te es permitido depreciar su valor por 15% por año. Esto significa que después de la depreciación del primer año, el valor de la camioneta será de solamente 85% de su costo original, o 21.250 €. La fórmula: y = 25000.(1 – 0,15)x  y = 25000.(0,85)x predecirá el valor de la camioneta después de x años de depreciación a 15% por año.

Tenemos y = 25000.(0,85)x 1. ¿Disminuye el valor de la camioneta la misma cantidad cada año? No, pues aunque disminuye siempre el 15%, lo hace sobre cantidades diferentes. 2. ¿Cuándo es mayor la caída en valor? El primer año, por ser mayor el valor inicial. 3. ¿Cuándo es menor la caída en valor? Nunca, pues por muchos años que pasen siempre quedará algún valor. 4. ¿No tendrá ningún valor la camioneta en algún momento, de acuerdo a este modelo?. El resultado nunca puede ser 0. 5. ¿Tendrá la camioneta en algún momento un valor negativo, de acuerdo a este modelo? El resultado nunca puede ser negativo. 6. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que su valor fiscal sea de 5.000 €, de acuerdo a este modelo? y = 25000.(0,85)x  5000 = 25000.(0,85)x 5000/25000 = 0,85x  0,2 = 0,85x  ln 0,2 = x.ln 0,85 ln 0,2 - 1,609437 x = -------------- = ---------------- = 10 años aproximadamente ln 0,85 - 0,162519

FUNCIÓN LOGARÍTMICA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se llama FUNCIÓN LOGARÍTMICA a la expresión: y = log a x  f (x) = log a x Donde “a” es la base del logaritmo y x la variable. Funciones logarítmicas son: f(x) = log x , donde “a”, por omisión, vale 10. f(x) = ln x , donde la base es el número e. g(x) = log a f(x) , donde tenemos una función compuesta. Si a=10  LOGARITMOS DECIMALES (Base = 10) Si a= e  LOGARITMOS NEPERIANOS (Base = e)

La función y=log2 x 8 y y = 2x 4 Sea y = 2x La inversa de dicha función es: Tenemos: y = 2x  x = log2 x  y = log2 x Luego gráficamente será simétrica respecto a la recta y = x 2 y = log2 x

La función y = log1/2x 8 y Sea y = (1/2)x Donde la base, a, vale ½ . La inversa de dicha función es: Tenemos: y = (1/2)x  x = log1/2 x  y = log1/2 x Luego gráficamente será simétrica respecto a la recta y = x y=(1/2)x 4 2 y = log1/2 x

Gráfica de y = log x 1 Sea y = log x y Tabla de valores 0,5 x y -2 --- -1 --- 0 --- 0,2 -0,6990 0,4 -0,3980 0,8 -0,0970 1 0 2 0,3010 3 0,4773 y y = log x -1 0 1 2 3 x También la podíamos haber obtenido por simetría respecto a la recta y=x, sabiendo que es la inversa de y=10x

Gráfica de y = ln x Sea y = ln x Tabla de valores x y -2 --- -1 --- -2 --- -1 --- 0 --- 0,2 -1,6094 0,4 -0,9163 0,8 -0,2231 1 0 2 0,6931 3 0,9861 y 1 0,5 y = ln x -1 0 1 2 3 x También la podíamos haber obtenido por simetría respecto a la recta y=x, sabiendo que es la inversa de y = ex

Comparativa y propiedades Sea y = log x e y = ln x En general, si y = loga x , a > 1 , se cumple: El domino es Dom f(x) = R+ El recorrido es Img f(x) = R Es siempre creciente en R+ Sea cual sea la base, “a” corta al eje de abscisas en el punto PC(1, 0) El eje de ordenadas es una ASÍNTOTA de la función, pues ésta tiende a converger con el eje. y y = ln x y = log x 0 1 2 3 x Aunque para valores grandes de x, el valor de y casi es cte. , éste sigue creciendo hasta el infinito, por ello la Img f(x) es R.