Ecuaciones diferenciales 3. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Objetivo El alumno empleará la teoría fundamental de los sistemas de ecuaciones diferenciales linelaes ordinarias y la representación matricial de los sistemas de primer orden, en la resolución e interpretación de problemas físicos y geométricos

Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes Sistemas degenerados

Sistemas degenerados Un sistema degenerado es aquél cuyo determinante de la matriz operacional del sistema es igual a cero. En este caso el sistema puede no tener solución o puede tener infinidad de soluciones. En este caso se expresa a una función solución como función de la otra.

Ejemplo de sistemas degenerados (b)

Ecuaciones diferenciales 4. Transformada de Laplace Objetivo El alumno aplicará la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Transformada de Laplace Definición Ejercicios Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace Función continua por partes Función de orden exponencial

Transformada de Laplace La transformada de Laplace, L, es un operador lineal que cambia una función de un domino a otro: Proceso Entrada Salida L Función en el dominio de t Función en el dominio de s

Transformada de Laplace ¿Por qué estudiar a L ? Proceso de solución de una ED mediante transformada de Laplace Ecuación diferencial (dominio de t) L Ecuación diferencial (dominio de s) Solución de la ecuación diferencial (dominio de s) Transformada de Laplace Transformada inversa de Laplace El cambiar una ecuación diferencial al dominio de s simplifica el proceso de solución porque la ED en el dominio de s es una ecuación algebraica Solución de la ecuación diferencial (dominio de t)

En ingeniería se considera un cambio de domino del tiempo, t, al dominio de la frecuencia, s. Se considera el dominio del tiempo porque los modelos matemáticos analizados en ingeniería están en función del mismo. La frecuencia se refiere a la frecuencia de una excitación armónica actuando en la ecuación diferencial (modelo matemático)

Proceso (propiedades del sistema) Respuesta del sistema (salida) Sistema lineal Excitación (entrada) Proceso (propiedades del sistema) Respuesta del sistema (salida)

Respuesta de un sistema lineal En el dominio del tiempo: En el dominio de la frecuencia: de la excitación

Transformada de Laplace. Definición Sea f(t) una función definida en el intervalo [0, ). La transformada de Laplace de f(t) es la función F(s) definida por la integral Como esta integral es impropia, entonces está definida como Siempre y cuando el límite exista, es decir, cuando la integral converge

transformada de Laplace Linealidad de la transformada de Laplace Principio de superposición Principio de homogeneidad

Aplicación de la definición de la transformada: Ejercicios Determine la transformada de Laplace de las funciones siguientes: .

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace Si una función f(t) es continua por partes en [0, ) y de orden exponencial a, entonces su transformada de Laplace L{f(t)} existe para s > a

Función continua por partes (piecewise function) Se dice que una función f(t) es continua por partes en un intervalo [a, b] si f(t) es continua en todo el intervalo excepto en algún número finito de puntos. Una función f(t) es continua por partes en [0, ) si f(t) es continua por partes en el intervalo [0, N] para todo N > 0