Tema V Programación Lineal MATEMÁTICAS A. CS II Tema V Programación Lineal @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PLANIFICACIÓN ECONÓMICA TEMA 5.4 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. VENTAS LIMITADAS Entre impresoras y escáneres de segunda mano se tiene establecido que un pequeño comercio venda como máximo 100 unidades al mes. Dispone de 60 impresoras, lo que le reporta un beneficio unitario de 25 €; y de 70 escáneres, lo que le reporta un beneficio unitario de 30 €. Determina las impresoras y escáneres que debe vender para maximizar sus beneficios. 1.- Función objetivo Sea x = Nº de impresoras que vende. Sea y = Nº de escáneres que vende. F(x,y) = 25.x + 30.y 2.- Restricciones del problema x+y <= 100 , pues no puede vender más de 100 unidades total. x <= 60 , pues no tiene más de 60 y <= 70 , pues no tiene más de 70 x >=0 , pues debe ser una cantidad positiva y >=0 , pues debe ser una cantidad positiva @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. 3.- Determinamos la región factible x + y ≤ 100 y ≤ 100 – x Tabla: x y 0 100 100 0 Vértices A(0,0) B(0,70) C(30,70) D(60,40) E(60,0) Y 100 70 B C D A 0 30 E 60 100 X @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. 4.- Hallamos los valores que dan el máximo beneficio MODO GRÁFICO: Dibujamos la recta 25.x + 30.y = 0 y = – (25 / 30).x Tabla x y 30 – 25 – 30 25 Y hacemos pasar paralelas a ella por todos vértices de la región factible. Vemos que la paralela por el vértice C(30, 60) es la que alcanza el máximo valor en el corte con el eje de ordenadas. Solución: x = 30, y = 70 Y 100 70 B C D A 0 30 E 60 X @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Y 100 70 5.- Hallamos los valores que dan el máximo beneficio MODO ANALÍTICO: Calculamos el valor de la función en los vértices F(A)=F( 0,0 ) = = 25.0 + 30.0 = 0 F(B)=F( 0,70 ) = = 25.0 + 30.70 = 0+2100 = 2100 F(C)=F( 30,70 ) = = 25.30 + 30.70 = 750 + 2100 = 2850 F(D)=F( 60,40 ) = = 25.60 + 30.40 = 1500 + 1200 = 2700 F(E)=F( 60,0 ) = = 25.60 + 30.0 = 1500 + 0 = 1500 Vemos que la máxima ganancia la obtiene en el vértice C( 30,70) Solución: Debe vender 30 impresoras y 70 escáneres B C D A 0 30 E 60 X @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. MÍNIMOS COSTES Una empresa fabrica sillas, mesas y estanterías en dos plantas. Una planta produce diariamente 1000, 3000 y 5000 unidades respectivamente de sillas, mesas y estanterías. La otra planta produce diariamente 2000 unidades de cada producto. La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes, al menos, 80.000, 160.000 y 200.000 unidades respectivamente de sillas, mesas y estanterías. Sabiendo que el coste de producción es de 2.000 € al día en cada planta, ¿cuántos días debe trabajar cada planta para que se cubran los objetivos con el mínimo coste?. 1.- Función objetivo Sea x = Nº de días que debe trabajar la planta A. Sea y = Nº de días que debe trabajar la planta B. F(x,y) = 2000.x + 2000.y @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. 2.- Restricciones del problema 1.000.x+2.000.y ≥ 80.000 Pues entre las dos plantas se deben producir al menos 80000 sillas. 3.000.x+2.000.y ≥ 160.000 Pues entre las dos plantas se deben producir al menos 160000 mesas. 5.000.x+2.000.y ≥ 200.000 Pues entre las dos plantas se deben producir al menos 200.000 estanterías. 2.- Restricciones del problema en miles de unidades x+2.y ≥ 80 . 3.x+2.y ≥ 160 5.x+2.y ≥ 200 Las soluciones son las mismas, pero trabajamos mejor con números pequeños. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. 3.- Representamos gráficamente cada restricción para hallar la región factible x+2.y >= 80 y >= 40 – 0,5.x Tabla: (0,40) , (80,0) 3.x+2.y >= 160 y >= 80 – 1,5.x (0,80) , (53`33,0) 5.x+2.y >= 200 y >= 100 – 2,5.x (0,100) , (40,0) x >= 0 y >= 0 Y vemos por el rayado común que es una región abierta. A REGIÓN FACTIBLE B C D @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Determinamos los vértices de la región factible: A) Bien de forma gráfica, mirando el punto de corte de las rectas trazadas. B) Bien de forma analítica resolviendo los sistemas que forman las restricciones (rectas) tomadas de dos en dos. Vértices A(0,100) B(20,50) C(40,20) D(80,0) A 100 80 60 40 20 B C D 0 20 40 60 80 X @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. 4.- Hallamos el punto o puntos de la región factible que nos da el mínimo coste. A.- MODO GRÁFICO Dibujamos la función objetivo y sus paralelas por los vértices F(x,y) = 2000.x + 2000.y 2000.x + 2000.y = 0 2000.(x+y) =0 x+y = 0 y = - x Miramos los cortes de las paralelas con el eje de ordenadas. El vértice C(40,20) es que presenta la menor de las ordenadas. Solución: x = 40, y = 20 A 100 80 60 40 20 B C D 0 20 40 60 80 X @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. 5.- Hallamos el punto o puntos de la región factible que nos da el mínimo coste. B.- MODO ANALÍTICO Calculamos el valor de la función en los vértices: F(x,y) = 2000.x + 2000.y F( 0,100 ) = 2000.0 +2000.100 = = 0 + 200.000 = 200.000 F( 20,50 ) = 2000.20 + 2000.50 = = 40.000+100.000 = 140.000 F( 40,20 ) = 2000.40 + 2000.20 = 80.000 + 40.000 = 120.000 F( 80, 0 ) = 2000.80 + 2000.0 = 160.000 + 0 = 160.000 Vemos que el mínimo coste se obtiene en el vértice C( 40,20) Solución: La planta A trabajará 40 días y la planta B 20 días. 100 80 60 40 20 A B C D 0 20 40 60 80 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.