INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICA CÁTEDRA DE MATEMÁTICA I UNEXPO INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES Morales, E., Ríos, I. y Vargas, E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES UNIDAD 1 TEMAS 1. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES 2. AXIOMAS DE CUERPO 3. OTRAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES CLASE 1 UNEXPO Morales, E. y Ríos, I. (2011)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO INTRODUCCIÓN AL TEMA La noción de número y contar ha acompañado a la humanidad desde la prehistoria. Como todo conocimiento desarrollado por el hombre primitivo, la causa para que el ser humano emprendiera sus pasos en el contar y plasmar cantidades surgió fundamentalmente de la necesidad de adaptarse al medio ambiente, proteger sus bienes y distinguir los ciclos de la naturaleza pues ya percibían y observaban con cuidado los ritmos que ésta posee y su fina relación con las oportunidades de alimentación y, en general, con la conservación de la vida, entre otros. La razón para que actualmente se utilice un sistema decimal, se deriva principalmente de que el ser humano necesitó hacer una representación simbólica del conteo con Yo Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO su propio cuerpo, y para ello se valió básicamente de los 10 dedos de las manos y aunque éste no fue el único sistema utilizado por la humanidad, sí fue el más difundido. Es así como a lo largo de la historia se ha visto cómo los números han sido una herramienta que ha servido a la humanidad para controlar, describir e interpretar situaciones que se presentan en un determinado contexto. El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. Por ejemplo, representar las cantidades con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. En esta sección se expone un repaso del conjunto de los Números Reales y sus propiedades, tema indispensable para los estudios posteriores del Álgebra y el Cálculo. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

COMPETENCIAS A LOGRAR: MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO COMPETENCIAS A LOGRAR: Conoce la clasificación de los NÚMEROS REALES (R) y sus propiedades. Resuelve problemas utilizando la axiomática del cuerpo de los NÚMEROS REALES (R). PREREQUISITOS: Conoce e identifica los números: NATURALES (N), ENTEROS (Z) y RACIONALES (Q), y las operaciones básicas definidas en ellos. ( Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

Guías recomendadas por el profesor. Lápiz y papel. Apuntes personales MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO MATERIALES: Guías recomendadas por el profesor. Lápiz y papel. Apuntes personales Textos Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

ÍNDICE: EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMAS DE CUERPO MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO ÍNDICE: EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMAS DE CUERPO OTRAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES NOTA: Selecciona el tema que deseas repasar o continua adelante si quieres revisar toda la presentación. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES TEMA 1 El conjunto de los NÚMEROS REALES es la unión del conjunto de los NÚMEROS RACIONALES (Q) con el conjunto de los NÚMEROS IRRACIONALES (I). Dentro del conjunto de los números Racionales se encuentran los NÚMEROS ENTEROS (Z), los cuales a su vez se clasifican en enteros negativos (Z-), enteros positivos (Z+) y el cero. Veamos que nos quiere decir esta imagen R= Q∪I 35 2 e 3 3 I Q 1 2 3 4 0,4 0,64444…… z N= 𝑍 + 1,235…. π −2−1 0 1 2 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES Observa que los conjuntos N y Z son subconjuntos de los NÚMEROS RACIONALES. Los Números Reales es el conjunto formado al unir el conjunto de los Números Racionales con el conjunto de los Números Irracionales (Q ∪ I). Observa que el conjunto de los NÚMEROS REALES es un conjunto que engloba a los conjuntos Q e I. R=Q∪I NÚMEROS IRRACIONALES, representados por la letra I. Q I 1 2 3 4 0,4 0,6 4 NÚMEROS RACIONALES, representados por la letra Q. 35 2 e 3 3 1,221…. π z N=z+ ∪ 0 −2−1 1 2 3 NÚMEROS ENTEROS, representados por la letra Z A su vez el conjunto de los NÚMEROS NATURALES es un subconjunto del conjunto de los NÚMEROS ENTEROS. NÚMEROS NATURALES, representados por la letra N Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO Realiza las siguientes actividades para verificar los conocimientos adquiridos: N Z Q I R 𝟗 𝟎 3 𝟑 −𝟐 𝟏,𝟐𝟗 𝟏+ 𝟐 − 𝟏 𝟑 − 𝟓 − 𝟓 𝟓 − 𝟓 3 −𝟐𝟕 𝟑,𝟏𝟒𝟏𝟓 𝟗+𝟏𝟔 𝝅 Dada la tabla adjunta a la derecha complétela con el signo de pertenencia (∈) o no pertenencia (∉). VER SOLUCIÓN Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO TRATA DE RESOLVER EL PROBLEMA ANTES DE SELECCIONAR LA OPCIÓN VER RESPUESTA Atrás Ver Respuesta Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO N Z Q I R 𝟗 ∈ ∉ 𝟎 3 𝟑 −𝟐 𝟏,𝟐𝟗 𝟏+ 𝟐 − 𝟏 𝟑 − 𝟓 − 𝟓 𝟓 − 𝟓 3 −𝟐𝟕 𝟑,𝟏𝟒𝟏𝟓 𝟗+𝟏𝟔 𝝅 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

Veamos esto de manera más clara con unos ejemplos: MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) TEMA 2 AXIOMAS DE CUERPO Esta Ley es sencilla sólo nos quiere decir que si 𝑎 es un número real y 𝑏 otro número real, la suma y la multiplicación de ellos también será un número real.   Esta Ley nos quiere decir que si 𝒂 y 𝒃 son números reales que deseamos sumar o multiplicar, el orden de 𝒂 y 𝒃, no alterará el resultado. Veamos esto de manera más clara con unos ejemplos: Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

Continuemos con los axiomas… MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO AXIOMAS DE CUERPO: Ejemplos En este caso vemos que al multiplicar 𝒂=2 y 𝒃=5 los cuales son números reales, el resultado es 10 que es un número real. A1 Son leyes de composición interna: Para la suma 4+3=7 Para la multiplicación 2∙5=10 A2 Conmutatividad: Para la suma tenemos que 3+4=7 Para la multiplicación 5∙2=10 Observe que al aplicar la propiedad conmutativa se obtiene el mismo resultado. Sean 𝒂 =4 y 𝒃=3 los cuales son números reales, el resultado obtenido al sumarlos es 7 el cual también será un número real. De manera similar a la suma, si se cambia el orden de 𝒂 𝑦 𝒃 , el resultado es igual. Continuemos con los axiomas… Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO Esta Ley nos quiere decir que si 𝒂, 𝒃 y 𝒄 son números reales, tanto en la adición como en la multiplicación, no importa el orden de asociación . A3 Asociatividad: ∀ 𝑎, 𝑏,𝑐∈𝑅: 𝑎+𝑏 +𝑐=𝑎+ 𝑏+𝑐 𝑎∙𝑏 ∙𝑐=𝑎∙(𝑏∙𝑐) A4 Existencia del elemento neutro para la adición y del elemento neutro para la multiplicación. Existen únicos elementos 0 y 1 tales que: ∀ 𝑎, 𝑏∈𝑅:𝑎+0=0+𝑎=𝑎 𝑎∙1=1∙𝑎=𝑎 El elemento neutro para la adición es 0 ya que al sumarlo con cualquier número real el resultado es ese mismo número real. Para el caso de la multiplicación, el elemento neutro es el 1. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

Entonces el opuesto aditivo de 4 es -4. MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO A5 Existencia del opuesto aditivo: Para todo 𝑎∈𝑅: existe un único número real que denotaremos por − 𝑎 tal que: 𝑎+(−𝑎)=(−𝑎)+𝑎=0 Veamos un ejemplo: Si tenemos que 𝑎=4 y queremos sumarlo con un número de tal manera que el resultado nos de cero, eso solo será posible si se realiza la suma con −𝑎=−4, lo que resulta: 4+ −4 =0 Entonces el opuesto aditivo de 4 es -4. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

A6 Existencia del inverso multiplicativo: MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO Esta ley nos quiere decir que: si 𝒂 es un número real no nulo siempre es posible tener un número (inverso multiplicativo) que al multiplicarlo por 𝒂 se obtenga como resultado 1 A6 Existencia del inverso multiplicativo: Para todo 𝑎∈𝑅− 0 , existe un único número real denotado por 𝑎 −1 tal que: 𝑎. 𝑎 −1 = 𝑎 −1 .𝑎=1 OBSERVACIÓN: El inverso multiplicativo del número a también se puede denotar por 1 𝑎 A7 Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición: ∀ 𝑎, 𝑏,𝑐∈𝑅:𝑎∙ 𝑏+𝑐 =𝑎∙𝑏+𝑎∙𝑐 Veamos esto de manera más clara con unos ejemplos: Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

Para ambos casos el resultado se mantiene igual MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO A6 Existencia del inverso multiplicativo: Si tenemos por ejemplo que 𝑎=6 al multiplicarlo por 𝑎 −1 = 6 −1 = 1 6 obtenemos que: 6 . 1 6 =1 A7 Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición. Si tenemos que 1 2 (4+10) notamos que: 1 2 14 =7 1 2 .4+ 1 2 .10=2+5=7 El resultado de la multiplicación es 1, lo que quiere decir que el inverso multiplicativo de 6 es 1 6 Para ambos casos el resultado se mantiene igual Si se realiza primero la adición y luego se efectúa la multiplicación, se obtiene 7 Si se aplica la propiedad distributiva y luego se realiza la adición, se obtiene 7 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO Los axiomas anteriores se han descrito, principalmente en términos de las operaciones adición y multiplicación. Ahora procederemos a definir las operaciones básicas de la sustracción y división en términos de la suma y de la multiplicación, respectivamente. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

La diferencia, 𝑎−𝑏, de dos números reales, 𝑎 y 𝑏 , se define como: MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO Sustracción: La diferencia, 𝑎−𝑏, de dos números reales, 𝑎 y 𝑏 , se define como: 𝑎−𝑏=𝑎+(−𝑏) Donde –𝑏 es el opuesto aditivo de 𝑏. Por ejemplo, 4−6=4+ −6 =−2 División: Sean 𝑎 y 𝑏 dos números reales con 𝑏≠0. La división 𝒂 por 𝒃, denotada 𝑎÷𝑏, 𝑠𝑒 define por: 𝑎 𝑏 =𝑎 ∙𝑏 −1 =𝑎 1 𝑏 𝐼 donde 𝑏 −1 es el inverso multiplicativo de b. Por ejemplo, aplicando 𝐼 : 4÷2= 4∙2 −1 =4∙ 1 2 = 4 2 =2 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

3 OTRAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) OTRAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES TEMA 3 Usando los axiomas y definiciones anteriores surgen otras propiedades de los números reales. Teoremas: Para todo 𝑎,𝑏,𝑐 𝜖 𝑅 se cumple que: 𝒂=𝒃 ⇔𝒂+𝒄=𝒃+𝒄 𝒂=𝒃 ⇔𝒂∙𝒄=𝒃∙𝒄 𝒂∙𝒃=𝒂∙𝒄 ∧ 𝒂≠𝟎→𝒃=𝒄 Por ejemplo, si 𝑎=3 𝑦 𝑏=3 ⇔3+𝑐=3+𝑐 Por ejemplo, si 𝑎=4 𝑦 𝑏=4 ⇔4∙𝑐=4∙𝑐 Por ejemplo, si 𝑎=4 𝑦 𝑏=2 ; 4∙2=4∙𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐=2 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

OTRAS PROPIEDADES DE NÚMEROS REALES MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO OTRAS PROPIEDADES DE NÚMEROS REALES 𝑎.0=0 −𝑎=−1 𝑎 𝑎 −𝑏 = −𝑎 b=− 𝑎b − −𝑎 =𝑎 −𝑎 −𝑏 =𝑎𝑏 Por ejemplo: si 𝑎=−4 tenemos que: −4 ∙ 0=0 Por ejemplo: si 𝑎=7 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠−𝑎=−7=−1(7) Por ejemplo: si 𝑎=2 𝑦 −𝑏=−7, tenemos que que 2∙ −7 = −2 ∙7=−(2 ∙ 7) Si 𝑎=0,5 tenemos que − −0,5 =0,5 Si 𝑎= 1 2 𝑦 𝑏=6 tenemos que −𝑎=− 1 2 y (−𝑏)=(−6) entonces − 1 2 −6 = 1 2 ∙6=3 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

Recuerde que esto es válido para 𝑏≠0. MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO OBSERVACIONES 1. Si 𝑎 y 𝑏 son números reales, existe un único número 𝑥, tal que 𝑥+𝑏=𝑎, este número 𝑥 es 𝑎−𝑏. 2. Si 𝑎 y 𝑏 son números reales, con 𝑏≠0, existe un único número 𝑥 tal que 𝑏𝑥=𝑎, este número 𝑥 es 𝑎 𝑏 . Cuando 𝑏=0, al tratar de resolver la ecuación 0∙ 𝑥=𝑎, nos tropezamos con algunos problemas. Por ejemplo, si tratamos de resolver la ecuación 0∙𝑥=5; dado que 0. 𝑥 = 0; nos encontramos con la proposición falsa 0=5. Recuerde que esto es válido para 𝑏≠0. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

La división de dos números reales a y b con 𝑏≠0 es única. MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO OBSERVACIONES Recuerde que: La división de dos números reales a y b con 𝑏≠0 es única. Cuando 𝑎 y 𝑏 son ceros, la ecuación 𝑎𝑥=𝑏 encuentra una dificultad diferente, ya que se puede afirmar que la ecuación 0.𝑥=0 , tiene infinitas soluciones, por ejemplo: 0·5=0, 0· 3=0 y 0· 2 =0. Es decir, todo número real es una solución, por lo que el cociente 0 0 se puede asociar con cualquier real, de allí que la expresión 0 0 se conoce como una indeterminación y no tiene sentido en R. VOLVER AL ÍNDICE Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO Para verificar los conocimientos adquiridos realiza la actividad virtual sugerida para el reforzamiento de esta clase. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Gutiérrez, Y. (2005). Introducción a los Números Reales. UNEXPO- Vicerrectorado Puerto Ordaz. Morales, E. (2004). Números Reales y Geometría Analítica con estrategias heurísticas y algorítmicas de resolución de problemas. Trabajo de ascenso. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz. Morales, E. (2014). Uso del diagrama V de Gowin y la Trilogía CRP como estrategias heurísticas de solución de problemas. Notas didácticas para el curso de matemáticas I: Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre”. Trabajo de ascenso. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz. Núñez, L. (2007). Números Reales. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz. Sobel, Max. (1998). Pre-cálculo. (Quinta edición). México. Prentice Hall. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

FIN DE LA CLASE 1 MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO FIN DE LA CLASE 1 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)