Desarrollo del Cálculo Condiciones iniciales 1540 -1630: proliferación de textos de álgebra: Cardano en Italia, Stifel en Alemania Uso de fracciones decimales François Viète (1540-1603) en Francia Simon Stevin (1548-1620) Países Bajos Giovanni Magini (1592) punto decimal (estándar en s XVIII) Albert Girard (1629) coma decimal Invención de los logaritmos 2cosAcosB = cos(A+B)+cos(A-B) John Napier ó Neper (1550-1617) Henry Briggs (1561-1631) Experimentación con nuevas notaciones

Desarrollo del Cálculo SIMBOLOGÍA a/b numerador, denominador Oresmes (1350) + y – (operaciones) Widmann (alemán) hacia 1460   ab Stifel en 1544   = Recorde (inglés) en 1557   < y > Harriot (inglés) en 1621   + y - (signo) Oughtred (inglés) en 1631 a x b Oughtred en 1631 xn Descartes en 1637 Descartes 1637 a * b Rahn (alemán) en 1659   Rahn en 1659  a . b Leibniz en 1698   : Leibniz en 1698 

Desarrollo del Cálculo Condiciones iniciales Concepto de función Geometría analítica Requerimiento de la nueva ciencia de Galileo

Desarrollo del Cálculo Los cuatro problemas Dada la fórmula de la distancia recorrida respecto al tiempo, encontrar velocidad y aceleración (variaciones instantáneas) Obtener la tangente a una curva (entender lo que es una tangente) Encontrar valores máximos o mínimos de una función Encontrar áreas de figuras curvilíneas y longitudes de curvas

Desarrollo del Cálculo Método de exhausión para áreas. Grecia y Alejandría Roberval 1634. Traité des indivisibles Generaliza método de Arquímedes para encontrar tangentes a espirales Define la tangente como la trayectoria que seguiría un móvil en línea recta a partir de un punto en la curva. En esto sigue la idea de Galileo de descomponer el movimiento en componentes independientes (idea precursora de vector) por medio de la ley del paralelogramo.

Desarrollo del Cálculo Definición de Tangente: Galileo y Roberval

Desarrollo del Cálculo Fermat 1629 Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam Encontrar TQ la subtangente TQ/PQ = E/T1R TQ/f(x) = E/[f(x+E)-f(x)] TQ = [E f(x)]/[f(x+E)-f(x)] Simplifique la E y luego haga E=0. Versión más moderna f ’(x) = f(x)/TQ = [f(x+E)-f(x)]/E T1 T Q Q1 P1 P R E

Desarrollo del Cálculo Isaac Barrow 1677 Encontrar la pendiente de la tangente para y2=3x (y +a)2=3(x+e) y2+2ay+a2=3x+3e Se resta y2=3x 2ay+a2=3e. Se desprecian potencias superiores de a y e. a/e =3/2y T1 T Q Q1 P1 P R e a

Desarrollo del Cálculo Fermat 1629 Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam: Máximos y Mínimos Un segmento de longitud B se divide en dos, uno de longitud A y otro de longitud B-A y con estos lados se construye un rectángulo. ¿Cuánto debe medir A para que el rectángulo tenga mayor área? El área del triángulo es A(B-A) Sustituya A por A+E entonces Área=(A+E)(B-A-E) En el máximo: A(B-A) =(A+E)(B-A-E) Simplificando: EB-2AE+E2=0 Divida por E, luego desprecie el término E. Se obtiene B=2A

Desarrollo del Cálculo Stevin 1586 Statics, seguido por muchos como Fermat Encontrar el área debajo de la curva y=x2 Se divide el intervalo OB en n pedazos iguales Área de rectángulos = d.d2+d .(2d)2+d .(3d)2...+d .(nd)2 = d3 (1+22+32 …+n2) = d3 (2n3+ 3n2 + n)/6 = (dn)3 (1/3+ 1/2n +1/6n2) = (dn)3 (1/3) = OB/3 cuando n tiende a infinito O B d …. d 2 (2d )2 (3d )2 (nd )2

Desarrollo del Cálculo Encontrar la longitud de una curva Roberval Christopher Wren Fermat James Gregory Christian Huygens

Desarrollo del Cálculo John Wallis1616-1703 Carrera clerical Anglicano Se une al grupo fundador de la Royal Society 1649 Nombrado a la cátedra de geometría de Oxford por Cromwell debido a su inclinación política 1660 Se congracia con Carlos II – capellán real Contribuye fuertemente a la Geometría Analítica y su popularización Contribuye a la notación matemática Contribuye al cálculo: Calculando la integral del área de un cuarto de círculo, por interpolación concluye que p/2=(2.2.4.4.6.6.8.8.10..)/(1.3.3.5.5.7.7.9.9...)

Desarrollo del Cálculo El Teorema Fundamental del Cálculo Casi todos los que trabajaron en el cálculo se dieron cuenta que había relación entre los cuatro problemas. La relación más interesante, entre las variaciones instantáneas (derivada) y las áreas debajo de curvas (integral): El Teorema Fundamental del Cálculo Todos veían relaciones en casos particulares Por ejemplo, Galileo al pensar en la distancia como el área debajo de la curva de velocidad. La fórmula al integral o derivar xn La relación general del TFC y el método general del cálculo lo descubren Newton y Leibniz independientemente.