Matemática Básica para Economistas MA99 Unidad 4 Clase 5-1 Tema: Multiplicación de matrices y Problemas de modelación con matrices

Objetivos: Definir la multiplicación de matrices Aplicar las propiedades de las operaciones de matrices. Modelar diversos problemas en los que se utiliza el ordenamiento de datos, y se realizan operaciones a través de matrices.

Introducción Un proyecto de investigación nutricional comprende adultos y niños de ambos sexos. La composición de los participantes está dada por la matriz: Adultos Niños Hombres A = Mujeres El número de gramos diarios de proteínas, grasa y carbohidratos que consume cada niño y adulto está dado por la matriz Proteínas Grasa Carbohidratos B= Adulto Niño ¿Cómo determinar cuántos gramos de proteínas ingieren diariamente todos los hombres del proyecto? y ¿Cuántos gramos de grasa consumen a diario todas las mujeres?

Multiplicación de matrices Sea A una matriz o vector fila de orden n, y sea B una matriz o vector columna de orden n: El producto AB está dado por: (NOTA: A este producto también se le llama producto escalar)

Multiplicación de matrices Dadas las matrices: A = [aij] de orden m x p B = [bij] de orden p x n El producto de AxB es una matriz C = [cij] de orden m x n cuya componente cij es el producto de la fila i de A y la columna j de B.

Multiplicación de matrices 6 3 5 2 4 A= B= 1 30 12 39 15 23 9 31 25 11 27 10 C=

Propiedades Sean A, B y C matrices multiplicativas. A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC (AB)C = A(BC) (kA)B = k(AB) = A(kB), k es un escalar (AB)T = BTAT Por lo general, AB ≠ BA AB = 0 no implica que A = 0 ó B = 0 AB = AC no implica que B = C

Ejercicio: Operaciones con matrices Dadas las matrices A = [aij]3x3 , B = [bij]3x2 y C = [cij]2x3 tales que: i2 – j , i < 3 -i + j2 , i ≥ 3 1 , i – j < 1 -1 , i – j ≥ 1 aij = bij = -1 , 2j/i = primo 0 , 2j/i ≠ primo cij = Calcular: A2 – (2B)(3C)

Aplicaciones: Un proyecto de investigación nutricional comprende adultos y niños de ambos sexos. La composición de los participantes está dada por la matriz: Adultos Niños Hombres A = Mujeres El número de gramos diarios de proteínas, grasa y carbohidratos que consume cada niño y adulto está dado por la matriz Proteínas Grasa Carbohidratos B= Adulto Niño ¿Cómo determinar cuántos gramos de proteínas ingieren diariamente todos los hombres del proyecto? y ¿Cuántos gramos de grasa consumen a diario todas las mujeres?

Aplicaciones: Acciones Ejercicio 6.3 – Prob. 64 (pág. 251) Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. Los precios por acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300, respectivamente. Escriba un vector renglón (fila) que represente el número de acciones compradas de cada tipo. A B C D Acciones 200 300 500 250 Escriba un vector columna que represente el precio por acción por cada tipo. 100 A Precios 150 B 200 C 300 D

Aplicaciones: Acciones (continuación) Ejercicio 6.3 – Prob. 64 (pág. 251) Utilizando al multiplicación de matrices, encuentre el costo total de las acciones. 250 500 300 200 Acciones D C B A 150 Precios 100 200x100 + 300x150 + 500x200 + 250x300 = 240,000

Aplicaciones: Producción Problema: Una empresa utiliza tres tipos de materia prima M1, M2 y M3 en la elaboración de dos productos P1 y P2. El número de unidades de materia prima usados por cada unidad de P1 son 3, 2 y 4 respectivamente y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3 respectivamente. Suponga que la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a la semana. Exprese las respuestas como producto de matrices: ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima? Si los costos por unidad ($) para M1, M2 y M3 son 6, 10 y 12 respectivamente. ¿Cuáles son los costos de la materia prima por unidad de P1 y P2? ¿Cuál es la cantidad total gastada en materia prima a la semana en la producción de P1 y P2?

Resuelva ud.: pag.: 250 Ejercicios: 25, 28, 29, 32 pag.: 251