UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS. V COHORTE.

Presentación del tema: "UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS. V COHORTE."— Transcripción de la presentación:

1 UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS. V COHORTE         MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION CODIGO # SECCION A ALGEBRA MATRICIAL PROF. HUGAR CAPELLA

2 Matrices. Parámetros básicos
Definiciones básicas Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A. Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en la fila o reglón i y columna j se llama aij o Aij. Ejemplo Aquí es una matriz 4×5.. A = 1 2 3 A13 = 2 1/3 -1 10 -3

3 Z = M = TAMAÑO I (20 PULG)= 5X +3Y+2Z TAMAÑO II (23 PULG) = 7X+4Y+5Z
EJEMPLO: UNA EMPRESA QUE FABRICA TELEVISORES PRODUCE TRES MODELOS CON DISTINTAS CARACTERISTICAS EN TRES TAMAÑOS DIFERENTES . LA CAPACIDAD DE PRODUCCION EN LA PLANTA DE VALENCIA (EN MILES) ESTA DADA POR LA MATRIZ M TAMAÑO I (20 PULG)= 5X +3Y+2Z TAMAÑO II (23 PULG) = 7X+4Y+5Z TAMAÑO III(26 PULG) =10X+8Y+4Z (EN MILES) Z = 4 5 3 9 6 8 12 2 M = 5 3 2 7 4 10 8 LA MATRIZ Z DEFINE LA CAPACIDAD DE PRODUCCION DE LA OTRA PLANTA DE LA EMPRESA ( PTO ORDAZ) (AMBAS SON MATRICES CUADRADAS) HUGAR CAPELLA

4 MATRIZ IDENTIDAD Y MATRIZ CERO
1 Matriz Cero 0=

5 Operaciones con matrices
Trasposición La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji. Suma, Resta Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij. Producto escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij). Producto Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimensiones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.

6 Álgebra de matrices La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos: Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j. Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero. Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas: A+(B+C) = (A+B)+C Regla asociativa de adición A+B = B+A Regla conmutativa de adición A+O = O+A = A Regla unidad de adición A+( - A) = O = ( - A)+A Regla inversa de adición c(A+B) = cA+cB Regla distributiva (c+d)A = cA+dA 1A = A Unidad escalar 0A = O Cero escalar A(BC) = (AB)C Regla asociativa de multiplicación AI = IA = A Regla unidad de multiplicación A(B+C) = AB + AC

7 Álgebra de matrices (A+B)C = AC + BC Regla distributiva OA = AO = O Multiplicación por matriz cero (A+B)T = AT + BT Trasposición de una suma (cA)T = c(AT) Trasposición de un producto escalar (AB)T = BTAT Trasposición de un producto matriz La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general

8 = = Producto Suma y producto escalar T Ejemplos Trasposición 1/3 1 -1
1/3 1 -1 2 10 1 2 T 1/3 -1 10 Suma y producto escalar 1 + 2 1/3 -1 1 -1 = 2/3 -2 2 -1 5/3 -5 Producto 1 1/3 -1 = 2/3 -2 -1/3 5/3 1 -1 2/3 -2

9 EJEMPLO DE PRODUCTO ENTRE MATRICES

10 M = Z = TAMAÑO I (20 PULG)= 5X +3Y+2Z TAMAÑO II (23 PULG) = 7X+4Y+5Z
De la lamina SUMA Y PRODUCTO ESCALAR EJEMPLO: UNA EMPRESA QUE FABRICA TELEVISORES PRODUCE TRES MODELOS CON DISTINTAS CARACTERISTICAS EN TRES TAMAÑOS DIFERENTES . LA CAPACIDAD DE PRODUCCION EN LA PLANTA DE VALENCIA (EN MILES) ESTA DADA POR LA MATRIZ M TAMAÑO I (20 PULG)= 5X +3Y+2Z TAMAÑO II (23 PULG) = 7X+4Y+5Z TAMAÑO III(26 PULG) =10X+8Y+4Z (EN MILES) M = 5 3 2 7 4 10 8 Z = 4 5 3 9 6 8 12 2 LA MATRIZ Z DEFINE LA CAPACIDAD DE PRODUCCION DE LA OTRA PLANTA DE LA EMPRESA ( PTO ORDAZ)

11 Hallar: a) CUAL ES LA CAPACIDAD DE PRODUCCION TOTAL DE LA EMPRESA EN LAS DOS PLANTAS?
= 9 8 5 16 10 18 20 6 M+Z = 5 3 2 7 4 10 8 + 4 5 3 9 6 8 12 2 b) Cual es nueva producción total si la producción de la planta en Puerto Ordaz se incrementa en un 20 % Z+20%Z=1,2x 4 5 3 9 6 8 12 2 = 4.8 6 3.6 10.8 7.2 9.6 14.4 2.4

12 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: El sistema de ecuaciones lineales   a11x1 + a12x2 + a13x a1nxn = b1   a21x1 + a22x2 + a23x a2nxn b2       am1x1 + am2x2 + am3x amnxn bm

13 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
se puede escribir como la ecuación matriz AX = B ; donde   A = a11 a12 a13 . . . a1n a21 a22 a23 a2n am1 am2 am3 amn X = [x1, x2, x3, , xn]T y B = [b1, b2, x3, , bm]T

14 EJEMPLO: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
x + y - z = 4 3x 6 2z Su forma matricial AX=B 1 -1 x = 4 . 3 y 6 -2 z

15 METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES APLICANDO MATRICES.
DADO EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES: 2X – 2Y = 4 X + 3Y = 5 Método Intercambio de filas o renglones Multiplicación o división de una fila por una constante distinta de cero Adición o sustracción de un múltiplo constante de una fila a (o de) otra fila. 1 3 x = 5 -2 y 4 3 -2 x = 4 . 1 y 5

16

17 REDUCCION DE FILAS R2-2R1 Y R3-3R1 1 2 x = 4 . -3 y 13 3 5 -1 z -4 1 2
-5 y 5 -7 z -16

18

19 Aplicación algebra matricial
UN CONTRATISTA DISPONE DE 5000 HR-HOMBRES DE MANO DE OBRA PARA TRES PROYECTOS. LOS COSTOS POR HORAS HOMBRE DE LOS TRES PROYECTOS SON DE BsF 8, BsF 10, BsF 12 RESPECTIVAMENTE Y EL COSTO TOTAL ES DE BsF SI EL NÚMERO DE HR-HOMBRES PARA EL TERCER PROYECTO ES IGUAL A LA SUMA DE LAS H-H REQUERIDAS POR LOS PRIMEROS PROYECTOS. CALCULE EL NUMERO DE H-H DE QUE SE DISPONE EN CADA PROYECTO. SOLUCION: X + Y + Z = 5000 (1) 8X +10Y +12Z = (2) X + Y - Z = 0 (3)