+ 4a² ¹ 9x⁵- 12x⁴ + 2x³ - 2x² - 10x + 5 x⁰ Signo Exponente Monomio : Coeficiente Variable El grado del polinomio “5” ¹ 9x⁵- 12x⁴ + 2x³ - 2x² - 10x + 5 x⁰ Coeficiente Principal “9” Coeficiente Independiente “5” Observe el exponente de cada monomio, el de mayor exponente es el grado del polinomio El grado de un polinomio : El coeficiente principal : El coeficiente del monomio de mayor exponente El coeficiente independiente : Al monomio que solo muestra coeficiente

División Sintética 3𝑥 6 − 2𝑥 5 + 𝑥 3 −3 2𝑥 2 +𝑥−8 𝑥−2 3𝑥 6 − 2𝑥 5 + 𝑥 3 − 32𝑥 2 +𝑥−8 𝑥−2 En toda división debe estar el Polinomio completo: 3𝑥 6 − 2𝑥 5 + 𝟎𝒙 𝟒 + 𝑥 3 − 32𝑥 2 +𝑥 −8 𝑥−2 −𝟑𝒙 𝟔 +𝟔𝒙 𝟓 𝟑𝒙 𝟓 +𝟒𝒙 𝟒 +𝟖𝒙 𝟑 +𝟏𝟕𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 +𝟓 4𝑥 5 −𝟒𝒙 𝟓 +𝟖𝒙 𝟒 8𝑥 4 −𝟖𝒙 𝟒 +𝟏𝟔𝒙 𝟑 17𝑥 3 −𝟏𝟕𝒙 𝟑 +𝟑𝟒𝒙 𝟐 2𝑥 2 −𝟐𝒙 𝟐 +𝟒𝒙 El resto de la División 5𝑥 −𝟓𝒙 +𝟏𝟎 𝟐

Otra forma Sencilla Para que este factor sea cero 3𝑥 6 − 2𝑥 5 + 𝑥 3 − 32𝑥 2 +𝑥−8 𝑥−2 3𝑥 6 − 2𝑥 5 + 𝟎𝒙 𝟒 + 𝑥 3 − 32𝑥 2 +𝑥 −8 Ahora hacemos lo mismo pero solo ponemos los coeficientes: 3 −2 +𝟎 +1 −32 +1 −8 1−2 −𝟑 +𝟔 𝟑 +𝟒 +𝟖 +𝟏𝟕 +𝟐 +𝟓 4 𝟑𝒙 𝟓 + 𝟒𝒙 𝟒 + 𝟖𝒙 𝟑 +𝟏𝟕 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟓 −𝟒 +𝟖 8 −𝟖 +𝟏𝟔 2 3 -2 + 0 +1 - 32 + 1 - 8 17 6 8 16 34 4 10 −𝟏𝟕 +𝟑𝟒 3 4 8 17 2 5 2 2 𝟑𝒙 𝟓 + 𝟒𝒙 𝟒 + 𝟖𝒙 𝟑 +𝟏𝟕 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟓 −𝟐 +𝟒 5 El último número es el resto −𝟓 +𝟏𝟎 El resto de la División 𝟐

- - + + - + 4𝑥⁵− 2𝑥⁴ + 5𝑥³ − 𝑥² − 8𝑥 + 6 = 0 4𝑥⁵−2𝑥⁴+5𝑥³−𝑥² −8𝑥 +6 = 0 Resolver : 4𝑥⁵− 2𝑥⁴ + 5𝑥³ − 𝑥² − 8𝑥 + 6 = 0 Teorema de Descartes El grado del polinomio indica el número de soluciones Número de soluciones = 5 ¿De estas 5 soluciones cuantas son positivas y cuantas negativas? Soluciones Positivas: Observe los signos de cada monomio, luego avance de monomio en monomio y cuente los cambios de signo 4𝑥⁵−2𝑥⁴+5𝑥³−𝑥² −8𝑥 +6 = 0 - - + + - + Se contabilizó 4 cambios de signo, cuando este número es mayor o igual a 2; reste siempre 2 Hay 4 positivas ò 2 positivas

- - + - - + 4𝑥⁵−2𝑥⁴+5𝑥³−𝑥²−8𝑥 +6= 0 4𝑥⁵−2𝑥⁴+5𝑥³−𝑥²−8𝑥+6=0 Soluciones Negativas: 4𝑥⁵−2𝑥⁴+5𝑥³−𝑥²−8𝑥 +6= 0 Observe los signos en cada monomio y cambie el signo si la potencia es impar, si la potencia es Par no cambie, el termino independiente mantiene su signo - - + 4𝑥⁵−2𝑥⁴+5𝑥³−𝑥²−8𝑥+6=0 - - + Se contabilizó solo un cambio de signo, como este número es menor a 2; no se resta nada Hay 1 negativa + 4 ò +2 Resumen: - 1 + 4 y - 1 5 respuestas Debe combinar las respuestas +2 y -1 3 respuestas faltan 2, por lo tanto se completa con complejos. Descartes asegura que una de estas combinaciones sucederá de todas maneras.

- 4x⁷ + 3x⁴ + 5x³ - x - 12 =0 + - + + - - + - + 2 ò +0 - 3 ò -1 Ejemplo: 7 Soluciones POSITIVAS ¿Cuántos cambios de signo? 2 cambios ¿restamos 2? + 2 ò +0 Hay 2 positivas ò ninguna positiva NEGATIVAS + - + + - - + - 3 cambios ¿restamos 2? ¿Cuántos cambios de signo? - 3 ò -1 Hay 3 negativas ò una negativa +2 y -3 Y 2 complejos + 2 ò +0 Resumen: +2 y -1 Y 4 complejos - 3 ò -1 Las combinaciones +0 y -3 Y 4 complejos +0 y -1 Y 6 complejos

2𝑥⁴ − 3𝑥³ − 4𝑥² + 3𝑥 + 2 = 0 Teorema de Gauss: Da una combinación de las posibles soluciones pero; solo racionales 2𝑥⁴ − 3𝑥³ − 4𝑥² + 3𝑥 + 2 = 0 1.- Debe estar el polinomio completo, si falta algún monomio se completa con ceros. 2.- Se toma el coeficiente independiente y se hallan todos sus divisores { 2 } → {1 , 2} 3.- Se toma el coeficiente principal y se hallan todos sus divisores { 2 } → {1 , 2} 4.- Se divide cada divisor independiente entre cada divisor principal ±{ 1, ½, 2 } Hay 6 posibles soluciones racionales, 3 positivas y 3 negativas 5.- En la división sintética podemos saber cual es la respuesta pero; si ninguna es la respuesta entonces solo podemos decir que la respuesta es irracional y/o Compleja.

Las soluciones según Gauss ± 1,1/2,2 2𝑥⁴ − 3𝑥³ − 4𝑥² + 3𝑥 + 2 = 0 Recuerde que el Polinomio debe estar completo 𝑥= 1 2 -3 -4 3 2 Cuando el último número es cero quiere decir que el numero probado es una respuesta 2 -1 -5 -2 1 2 -1 -5 -2 2 1 -4 2 1 -4 -6 Al no ser cero el número probado no es respuesta Probamos con otro numero 𝑥= 2 2 -1 -5 -2 4 6 2 Otra respuesta 2 3 1 Como lo que queda es cuadrática , lo podemos resolver 2𝑥 2 +3𝑥+1 2𝑥 2 2 + 3𝑥 2 + 1 2 𝑥 2 + 3𝑥 2 + 1 2 (𝑥+ 3 4 ) 2 − 9 16 + 1 2 (𝑥+ 3 4 ) 2 − 1 16 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (𝑥+ 3 4 + 1 4 )(𝑥+ 3 4 − 1 4 ) (𝑥+1)(𝑥+ 1 2 ) ⇒ ⇒ 𝑥=−1 ;𝑥=−1/2