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INECUACIONES Factor π+1<0 π+1>0 π+1β€0 π+1β₯0 Menor Mayor Menor o igual Mayor o igual Resolver: 3π₯+1βπ₯>6+π₯ Para que el factor sea cero ΒΏCuΓ‘nto vale x? 3π₯ βπ₯ βπ₯ +1 β6 >0 5 π₯β5 >0 Punto CrΓtico Menor o igual Mayor o igual ββ +β β 5 + Menor Mayor π
ππ‘π: < π,+β > 2π₯β5+4π₯βπ₯+1<3π₯β8 Para que el factor sea cero ΒΏCuΓ‘nto vale x? 2π₯ +4π₯ βπ₯ β3π₯ β5 +1 +8 <0 β2 2π₯ +4 <0 π
ππ‘π: < ββ,βπ > ββ +β β β2 +
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Resolver: 8π₯+10β13π₯β₯16β7π₯ Para que el factor sea cero ΒΏCuΓ‘nto vale x? 8π₯ β13π₯ +7π₯ +10 β16 β₯0 3 2π₯β6 β₯0 ββ +β β 3 + π
ππ‘π: [ 3,+β > π₯β5+3π₯β2π₯+3β₯5π₯β8 Para que el factor sea cero ΒΏCuΓ‘nto vale x? π₯ +3π₯ β2π₯ β5π₯ β5 +3 +8 β₯0 2 β3π₯ +6 β₯0 ββ +β β 2 + Cambiamos de signo a toda la inecuaciΓ³n La desigualdad cambia de sentido π
ππ‘π: < ββ,π ] 3π₯β6β€0 Teorema: cuando cambie de signo a toda una desigualdad, la desigualdad cambia de sentido
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π₯ 2 β6π₯+2<0 π₯ 2 β6π₯= (π₯β ) 2 β9 +2<0 (π₯β3) 2 β 7 ( ) 2 (π₯β3 +
INECUACIONES CUADRΓTICAS π₯ 2 β6π₯+2<0 Para que el primer factor sea cero ΒΏCuΓ‘nto vale x? 3β 7 π₯ 2 β6π₯= (π₯β ) 2 β9 3 +2<0 Para que el segundo factor sea cero ΒΏCuΓ‘nto vale x? (π₯β3) 2 β 7 ( ) 2 3+ 7 (π₯β3 + 7 ) (π₯β3 β 7 ) <0 Se procede igual que las inecuaciones lineales solo que ahora tiene dos puntos crΓticos ββ +β + 3β 7 β 3+ 7 + π
ππ‘π: < 3β 7 ,3+ 7 >
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π₯ 2 β4π₯β5>0 π₯ 2 β4π₯= (π₯β ) 2 2 β4 β5>0 (π₯β2) 2 β 9 (π₯β2 + 3)
Para que los factores sean cero ΒΏCuΓ‘nto vale x? π₯ 2 β4π₯= (π₯β ) 2 2 β4 β5>0 π₯=β1; π₯=5 (π₯β2) 2 β 9 (π₯β2 + 3) (π₯β2 β 3) >0 ββ + β1 β 5 + +β (π₯β5) (π₯+1) Se procede igual que las inecuaciones lineales solo que ahora tiene dos puntos crΓticos π
ππ‘π: < ββ,β1 > βͺ < 5,+β > π₯ 2 β6π₯β7β€0 π₯ 2 β6π₯= (π₯β ) 2 3 β9 β7β€0 (π₯β3) 2 β 16 ββ +β + β1 β 7 + (π₯β3 + 4) (π₯β3 β 4) β€0 [ ] πΉπππ: β1,7 (π₯+1) (π₯β7)
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π₯ 4 β4π₯ 3 β7π₯ 2 +22π₯+24>0 < > < > < > [ ] [ ]
INECUACIONES POLINΓMICAS π₯ 4 β4π₯ 3 β7π₯ 2 +22π₯+24>0 DespuΓ©s que aplica la teorΓa (Descartes y Gauss) ha llegado a formar los factores: (π₯+2)(π₯β3)(π₯+1)(π₯β4)>0 Para que cada factor se haga cero: βπ π βπ π De forma ordenada en la recta: + βπ β βπ + π β π + ΒΏQuΓ© signo elige? Solo debe unir los intervalos < ββ,β2 > βͺ < β1,3 > βͺ < 4,+β > Resolver: (πβπ)(π+π)(π+ π )(πβπ)β€π π βπ β π π Para que cada factor se haga cero: De forma ordenada en la recta: + βπ β β π + π β π + [ ] [ ] β7,β 2 βͺ 3,5
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INECUACIONES RACIONALES
π₯β4 π₯+2 <0 (π₯+2)(π₯β3) π₯+7 >0 (π₯β5)(π₯+6) (π₯+3)(π₯β2) β₯0 + β2 β 4 + β β7 + β2 β 3 + + β6 β β3 + 2 β 5 + < βπ,β2 > βͺ < βπ,π > < > < ββ,βπ ] βͺ [ βπ,π ] βͺ [ π,+β > π,+β El Denominador nunca debe ser cero Rpta: < > OBSERVE: LOS FACTORES SON LINEALES Y EN NINGUNO Β«XΒ» ES NEGATIVO
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ΒΏQuΓ© pasa si hay varios factores negativos?
( π₯ 2 β6π₯β7)(3βπ₯) (π₯+3)(π₯β2) β₯0 Puntos CrΓticos (π₯β7)(π₯+1)(3βπ₯) (π₯+3)(π₯β2) β₯0 (π₯β7)(π₯+1)(πβπ) (π₯+3)(π₯β2) β€π { 7 ,β1 ,3 ,-3 ,2 } β -3 + β1 β 2 + 3 β 7 + Rpta: < ββ,βπ > ] βͺ [ βπ,π > ] βͺ [ π,π ] Si el nΓΊmero de factores es Par no se cambia el sentido ΒΏQuΓ© pasa si hay varios factores negativos? (5βπ₯)(6βπ₯)(9βπ₯) (π₯+3)(π₯β2)(7βπ₯) β₯0 (π₯β5)(π₯β6)(π₯β9) (π₯+3)(π₯β2)(π₯β7) β₯0 Si es Impar se cambia el sentido ΒΏQuΓ© pasa si los factores cuadrΓ‘ticos no se pueden reducir? ( π₯ 2 β4π₯+7)(3βπ₯) (π₯+3)( π₯ 2 +2) β₯0 (3βπ₯) (π₯+3) β₯0 Se eliminan y se continua con el ejercicio
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ΒΏQuΓ© pasa si los factores se encuentran elevados a una potencia?
( π π βππβπ) π (πβπ) π (π+π) π (πβπ) ππ π+π ππ β€0 Los factores pueden estar elevados a una potencia par o impar Los factores ademΓ‘s pueden tener negativa la variable Β«xΒ» Los factores no son lineales y estΓ‘n elevados a una potencia par o impar π π .π>0 π π .π<0 π π .πβ₯0 π π .πβ€0 π π π >0 π π π <0 π π π β₯0 π π π β€0 π>π πβ π π<π πβ π πβ₯π π=π πβ€π π=π Primer caso: Factor con Potencia Par π>π πβ π π<π πβ π πβ₯π πβ π πβ€π πβ π
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( π π βππβπ) π (πβπ) π (π+π) π (πβπ) ππ π+π ππ β€0
π π .π>0 π π .π<0 π π .πβ₯0 π π .πβ€0 π π π >0 π π π <0 π π π β₯0 π π π β€0 π.π>π π.π<π π.πβ₯π π.πβ€π Primer caso: Factor con Potencia Impar π.π>π πβ π π.π<π πβ π π.πβ₯π πβ π π.πβ€π πβ π
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