Estudios Profesionales para la Empresa La integral Determina la antiderivada más general. Interpreta la integral y su relación con la derivada. Define la integral definida. Calcula áreas de regiones limitadas en el plano. Estudios Profesionales para la Empresa

Primitivas o Antiderivadas Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I. Observación: De la definición se ve que F no es única. Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua. Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria. Teorema Si dos funciones P y Q son primitivas de una función f en un intervalo I entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I. Estudios Profesionales para la Empresa

Interpretación geométrica Estudios Profesionales para la Empresa

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Estudios Profesionales para la Empresa Ejemplo 1 Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones. Estudios Profesionales para la Empresa

Antiderivada particular Función Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa INTEGRAL DEFINIDA Y CALCULO DE ÁREAS A3 A2 A1 A4 Estudios Profesionales para la Empresa

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Estudios Profesionales para la Empresa Definición 2: El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación: Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa Limite Inferior y superior No tiene significado, indica respecto a que variable se integra. Integrando El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración. Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa 2° Teorema Fundamental del Cálculo Si f es una función integrable en [a, b] y F una primitiva de f en [a, b], entonces: Esta regla convierte al calculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación. Estudios Profesionales para la Empresa

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Propiedad de linealidad 1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y  y  son constantes, se tiene: Propiedad de linealidad Estudios Profesionales para la Empresa

Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha: Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua. Ejemplo: Si y se quiere hallar: Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa 3. Y representa el área de un rectángulo de altura h y longitud de base (b – a). Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa Si f y g son integrables en [a, b] y g(x)  f(x) para todo x  [a, b], se tendrá: Teorema de comparación Estudios Profesionales para la Empresa

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Estudios Profesionales para la Empresa Ejemplo: Usando la propiedad 5, estime entre qué valores se encuentra: Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa DEFINICIONES: Sea f una función integrable en [a, b], entonces: Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa Definición: Sea f una función contínua tal que: f(x) 0 en [a, b] y S={(x, y)/ axb, 0yf(x)} Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por: ò = b a dx ) x ( f S A Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa y x dx f(x) y = f(x) dA = f(x)dx dx a b Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa Ejemplo 1: Calcular el área de la región: S={(x, y)/ 0  x  2, 0  y  x2 + 1} Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa y x d c g(y) dy x = g(y) dy dA = g(y)dy Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa Ejemplos 2. Hallar el área de la curva x = - y2 + 3 ; x = 0. 3. Encontrar el área de la región xy = 1 ; x = 0,5 ; x = 2. Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa Ejemplo 4: Hallar el área de la región limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura. Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa f(x) dx y x - g(x) y = f(x) b a dx dA =[f(x) - g(x)]dx y = g(x) Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa Encontrar el área entre las curvas y = x - x3 ; -1 1 x y Estudios Profesionales para la Empresa

Estudios Profesionales para la Empresa 6. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3; Estudios Profesionales para la Empresa