Estadística Empresarial: Tema 1 - Ejercicio 2 ICADE (UPCo) 2005/06

Tema 1 - Ejercicio 2 Se está realizando un estudio sobre la ayuda que reciben los niños de sus padres en las tareas escolares. Se ha definido una variable  que toma los valores 0, 1 y 2 del siguiente modo: ·  = 0 significa que el niño no recibe ayuda. ·  = 1 significa que el niño recibe ayuda de uno de sus progenitores. ·  = 2 significa que el niño recibe ayuda de su padre y de su madre.

Tema 1 - Ejercicio 2 Se ha aceptado que esta variable sigue la siguiente distribución:  : número de padres que ayudan al hijo 0 P(  =0) = 1/4 1P(x=1) = 1/2 2P(x=2) = 1/4 x P(  =x)

Tema 1 - Ejercicio 2 Supongamos que se eligen dos niños de forma aleatoria.

Tema 1 - Ejercicio 2 Se pide: a) Construir la distribución de probabilidad correspondiente al espacio de todos los posibles sucesos que se nos pueden presentar. b) Construir la distribución de probabilidad correspondiente a la variable número medio de adultos que ayudan a los niños. c) Construir la distribución de probabilidad correspondiente a la variable aleatoria número máximo de adultos que prestan su ayuda.

Tema 1 - Ejercicio 2 Para cada niño:  : número de padres que ayudan al hijo 0 P(  =0) = 1/4 1P(x=1) = 1/2 2P(x=2) = 1/4 x P(  =x)

Tema 1 - Ejercicio 2 De entre todos los niños se elige a dos: De forma aleatoria: pueden ser cualesquiera x 1 : primer niño elegidox 2 : segundo niño elegido

Tema 1 - Ejercicio 2 Como para cada niño:  : número de padres que ayudan al hijo 0 P(  =0) = 1/4 1P(x=1) = 1/2 2P(x=2) = 1/4 x P(  =x)

Tema 1 - Ejercicio 2 También para cada uno de los dos niños elegidos: x 1 : número de padres que ayudan al primer niño elegido 0P(x 1 =0) = 1/4 1P(x 1 =1) = 1/2 2P(x 1 =2) = 1/4 xP(x 1 =x) x 2 : número de padres que ayudan al segundo niño elegido 0P(x 2 =0) = 1/4 1P(x 2 =1) = 1/2 2P(x 2 =2) = 1/4 xP(x 2 =x)

Tema 1 - Ejercicio 2 a) Los sucesos que se pueden presentar son las combinaciones de los correspondientes al primer niño elegido con los del segundo niño elegido: x2x x1x1 (0; 0) (0; 1) (0; 2) (x 1 ; x 2 ) (1; 0) (1; 1) (1; 2) (2; 0) (2; 1) (2; 2)

Tema 1 - Ejercicio 2 a) Sus respectivas probabilidades se obtienen a partir de las de los sucesos individuales (suponiendo independencia entre éstos, P(x 1,x 2 )=P(x 1 )·P(x 2 )): x2x x1x1 (0; 0) (0; 1) (0; 2) (x 1 ; x 2 ) (1; 0) (1; 1) (1; 2) (2; 0) (2; 1) (2; 2) 1/4 1/2 1/4 1/2 1/4·1/4=1/16 1/2·1/4=1/8 1/4·1/4=1/16 1/4·1/2=1/8 1/2·1/2=1/4

Tema 1 - Ejercicio 2 a) En resumen, la distribución de probabilidad del conjunto de ambas variables es: P(x 1; x 2 ) 1/16 1/8 1/16 1/8 1/4 1/8 1/16 1/8 1/16 (0; 0) (0; 1) (0; 2) (x 1 ; x 2 ) (1; 0) (1; 1) (1; 2) (2; 0) (2; 1) (2; 2)

Tema 1 - Ejercicio 2 a) Obsérvese que: x 1 : número de padres que ayudan al primer niño elegido  : número de padres que ayudan a su hijo (en general) x 2 : número de padres que ayudan al segundo niño elegido (x 1 ;x 2 ): número de padres que ayudan al primer niño elegido y al segundo niño elegido, respectivamente Son todas variables aleatorias – con su respectiva distribución de probabilidad

Tema 1 - Ejercicio 2 b) El número medio de adultos que ayudan a sus hijos se obtiene como:

Tema 1 - Ejercicio 2 b) Obsérvese que: x 1 : número de padres que ayudan al primer niño elegido  : número de padres que ayudan a su hijo (en general) x 2 : número de padres que ayudan al primer niño elegido (x 1 ;x 2 ) número de padres que ayudan al primer niño elegido y al segundo niño elegido, respectivamente Son todas variables aleatorias – con su respectiva distribución de probabilidad

Tema 1 - Ejercicio 2 b) Obsérvese que: x 1 : número de padres que ayudan al primer niño elegido  : número de padres que ayudan a su hijo (en general) x 2 : número de padres que ayudan al primer niño elegido a x : número medio de padres que ayudan al primer niño elegido y al segundo niño elegido El número medio de padres que ayudan a los niños elegidos también es una variable aleatoria  tiene distribución de probabilidad

Tema 1 - Ejercicio 2 b) Recordemos: P(x 1; x 2 ) 1/16 1/8 1/16 1/8 1/4 1/8 1/16 1/8 1/16 (0; 0) (0; 1) (0; 2) (x 1 ; x 2 ) (1; 0) (1; 1) (1; 2) (2; 0) (2; 1) (2; 2)

Tema 1 - Ejercicio 2 b) Calculando: P(x 1; x 2 ) = P(a x ) 1/16 1/8 1/16 1/8 1/4 1/8 1/16 1/8 1/16 (0; 0) (0; 1) (0; 2) (x 1 ; x 2 ) (1; 0) (1; 1) (1; 2) (2; 0) (2; 1) (2; 2) axax 1, ,

Tema 1 - Ejercicio 2 b) Resumiendo: P(a x ) 1/16 1/8 1/16 1/8 1/4 1/8 1/16 1/8 1/16 axax 1, ,

Tema 1 - Ejercicio 2 b) Resumiendo: P(a x ) 1/4 1/16 1/4 3/8 axax 1, ,5

Tema 1 - Ejercicio 2 c) El número máximo de adultos que ayudan a los niños elegidos se obtiene como:

Tema 1 - Ejercicio 2 c) Obsérvese que: x 1 : número de padres que ayudan al primer niño elegido  : número de padres que ayudan a su hijo (en general) x 2 : número de padres que ayudan al primer niño elegido M x : número máximo de padres que ayudan a los niños elegidos El número máximo de padres que ayudan a los niños elegidos también es una variable aleatoria  tiene distribución de probabilidad

Tema 1 - Ejercicio 2 c) Recordemos: P(x 1; x 2 ) 1/16 1/8 1/16 1/8 1/4 1/8 1/16 1/8 1/16 (0; 0) (0; 1) (0; 2) (x 1 ; x 2 ) (1; 0) (1; 1) (1; 2) (2; 0) (2; 1) (2; 2)

Tema 1 - Ejercicio 2 c) Calculando: P(x 1; x 2 ) = P(M x ) 1/16 1/8 1/16 1/8 1/4 1/8 1/16 1/8 1/16 (0; 0) (0; 1) (0; 2) (x 1 ; x 2 ) (1; 0) (1; 1) (1; 2) (2; 0) (2; 1) (2; 2) MxMx

Tema 1 - Ejercicio 2 c) Resumiendo: P(M x ) 1/16 1/8 1/16 1/8 1/4 1/8 1/16 1/8 1/16 MxMx

Tema 1 - Ejercicio 2 c) Resumiendo: P(M x ) 1/16 1/2 7/16 MxMx 2 0 1