Intervalos de Confianza

Presentación del tema: "Intervalos de Confianza"— Transcripción de la presentación:

1 Intervalos de Confianza

2 Contenido Estimación de parámetros Estimación de intervalos
Intervalo de confianza para la media Intervalo de confianza para la varianza Otros Intervalos de Confianza Intervalos de tolerancia Ints. de confianza y regresión lineal UMSNH-FIE

3 Estimación de Parámetros
Parámetros poblacionales y Estadísticos Muestrales Parámetros: Media (m) Varianza(s2) Desv. Est. (s) Etc. Datos (Población de Interés) Inferencias Muestreo Estadísticos: Promedio ( ) Varianza muestral(S2) Desv. Est. muestral(S) Etc. X Muestras UMSNH - FIE

4 Estimación de Parámetros
Ejemplo: Estimación de la media de una población Parámetro que se pretende estimar : La media de la población ( µ ) que en general no se conoce, no se puede conocer, o se conoce sólo un valor teórico: Estimador: La media muestral ( ) que se calcula a partir de una muestra de N datos como sigue: X El estimador (en el ejemplo la media muestral) puede tomar diferentes valores (aleatorios) dependiendo de la muestra (aleatoria) considerada, es decir, el estimador es una variable aleatoria Es natural preguntarse : ¿Cuál será la distribución de probabilidad del estimador? De hecho ¿cuáles serán sus parámetros? ¿tendrán que ver con los de la población? UMSNH - FIE

5 Estimación de Parámetros
Ejemplo: Lanzamiento de un dado Población de interés : El conjunto de datos obtenidos al lanzar un dado legal en diversas ocasiones Parámetro de interés : La media (µ) de la población Estimador: La media muestral ( ) X Experimento aleatorio : Lanzar un dado Variable aleatoria X= número obtenido en la cara superior Espacio muestral = {1, 2 , 3, 4, 5 , 6} Distribución de la variable aleatoria X: Uniforme Media teórica: µ=3.5 UMSNH - FIE

6 Estimación de Parámetros
Ejemplo: Lanzamiento de un dado Distribución de la variable aleatoria (X) del experimento Función de Probabilidad: f(x) = P(X=x) x 1 2 3 4 5 6 f(x) 1/6 1 2 3 4 5 6 0.05 0.1 0.15 0.2 x f(x) Función de Probabilidad m UMSNH - FIE

7 Estimación de Parámetros
Ejemplo: Lanzamiento de un dado Distribución del estadístico X Diferentes cálculos de para N=10: X Muestra x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 1 3 5 2 4 2.1 6 3.8 3.2 3.7 ... X Cada muestra puede considerarse como: 10 valores de la variable aleatoria X, 1 sólo valor para 10 variables aleatorias X1,X2,...,X10 UMSNH - FIE

8 Estimación de Parámetros
Ejemplo: Lanzamiento de un dado Distribución del estadístico X Si obtenemos 1000 muestras, obtendremos 1000 valores de , para estos 1000 valores realizamos el histograma: X 1 2 3 4 5 6 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 X frecuencia relativa Distribución de la media muestral UMSNH - FIE

9 Estimación de Parámetros
Ejemplo: Lanzamiento de un dado Código en Matlab: %se simula el dado x=round(rand(N,n)*6+0.5); M=sum(x)/N; [X,c]=hist(M,15); %se grafica el histograma de frecuencia relativa en p.u. X=X/n; bar(c,X) Recordatorio: Cada muestra puede considerarse como: 10 valores de la variable aleatoria X, 1 sólo valor para 10 variables aleatorias X1,X2,...,X10 UMSNH - FIE

10 Estimación de Parámetros
Q ^ En general: un estadístico que pretende estimar un parámetro q es una v. a. Que depende de las N variables aleatorias que forman una muestra, es decir Q ^ = f(X1,X2,...,XN) Así, una muestra es un conjunto de valores (x1,x2,...,xN) tomados por las variables aleatorias (X1,X2,...,XN). Es natural suponer que la distribución f(Xi)=P(Xi=xi) de cada variable de la muestra es igual a la de la población q ^ Q ^ q ^ Sin embargo, la distribución f( ) = P( = ) del estadístico como se vió en el ejemplo del dado es otra cosa. UMSNH - FIE

11 Estimación de Intervalos
Q ^ q ^ En la explicación previa, un estimador produce un valor que pretende aproximar a un parámetro q. A este enfoque se le llama estimación puntual En el enfoque de estimación de intervalos, para un parámetro q no se estima un valor, sino un intervalo de la forma l  q  u, donde los valores extremos l, u dependen del valor numérico del estadístico para una muestra en particular y de la distribución de muestreo de q ^ Q ^ Es decir, l,u dependen de la muestra, por lo tanto son valores de variables aleatorias L, U UMSNH - FIE

12 Estimación de Intervalos
Q ^ Partiendo de la distribución de muestreo para , es posible determinar valores de L,U tales que se cumpla lo siguiente: P(L  q  U) =1 – a Donde 0 < a < 1 Es decir, se puede garantizar con una probabilidad de 1-a que la muestra elegida contendrá el valor verdadero de q Al intervalo resultante l  q  u se le conoce como el intervalo de confianza del 100(1– a) % para el parámetro desconocido q UMSNH - FIE

13 Estimación de Intervalos
Ejemplo: Construcción repetida de un intervalo de confianza para la media m: m Si los intervalos de confianza mostrados son del 95% significa que si se construye un gran número de ellos, el 95% de ellos contendrá a la media UMSNH - FIE

14 Estimación de Intervalos
En la práctica se obtiene solamente una muestra y se calcula con ella un intervalo de confianza dicho intervalo contiene o no contiene a m, no es razonable asignar una probabilidad a este evento. La proposición a decuada es que el intervalo contiene a m “con una confianza” del 95% La longitud del intervalo de confianza (u-l) es una medida de la calidad de la información obtenida en la muestra, al semi intervalo u-q, o q-l se le llama Precisión del estimador. ¿Qué significado tiene un intervalo grande? ¿És deseable que sea grande o que sea pequeño? ¿Qué relación tiene con el valor de 1-a? UMSNH - FIE

15 Estimación de Intervalos
Intervalo para la Media (Varianza conocida) Situación: Se tiene una población con media desconocida m, pero se supone conocida la varianza s2. Se toma una muestra aleatoria (X1,X2,...,XN). Con esta muestra se calcula el estadístico el cual es un estimador puntual insesgado para la media m desconocida. Se puede obtener un intervalo de confianza del 100(1-a) % para m si consideramos los siguientes hechos acerca de la distribución de : X X UMSNH - FIE

16 Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza conocida) Si la población es Normal, la distribución de es Normal Si la población no es Normal, el Teorema del límite central nos garantiza una distribución de aproximadamente normal cuando N  La media de es m ( es insesgado) La varianza de es s2/N X X X X X Teorema del Límite Central: Afirma que la media muestral tiene una distribución Normal aunque la población original no la tenga, siempre y cuando la muestra sea muy grande (de manera práctica N>30) UMSNH - FIE

17 Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza conocida) De acuerdo a lo anterior, podemos suponer que la variable Tiene una distribución N(0,1) -za/ za/ Z a/ a/2 de la figura: P{-za/2  Z  za/2 }=1-a. Con lo cual el intervalo de confianza del 100(1-a)% para la media es UMSNH - FIE

18 Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza conocida) Ejemplo: Los siguientes son datos de conductividad térmica de cierto tipo de hierro (en BTU/hr-ft-°F): Una estimación puntual para la media, es = Hallar un intervalo de confianza del 95 % y uno del 99% para la media. Se supone que la población tiene una distribución Normal con s=0.3 X Usamos la expresión para encontrar el intervalo de confianza para la media: Usando Matlab para calcular za/2 = norminv(0.025,0,1) l = (0.3)/10 = , u = (0.3)/10 = Entonces el intervalo de confianza del 95% es  m  Y la longitud de este intervalo es 3.92s/ N UMSNH - FIE

19 Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza conocida) Selección del tamaño de la muestra: La precisión del intervalo de confianza es za/2s/N esto significa que al usar para estimar m, el error de estimación, dado por E=| - m| es menor o igual que za/2s/N, con una confianza de 100(1-a)%. X X El problema inverso consiste en calcular N para obtener un error E con una confianza del 100(1-a)% previamente especificado: N1/2= za/2s/E Ejercicio: Calcular el tamaño adecuado de la muestra para lograr que el error de estimación de conductividad del hierro sea menor de 0.05 Btu/hr-ft-°F con una confianza del 95% UMSNH - FIE

20 Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza desconocida) Si no se conoce la varianza s2 de la población, una posibilidad es utilizar la varianza muestral S2 en las ecuaciones obtenidas para estimar intervalos en el caso de varianza conocida Este procedimiento funciona para muestras grandes (N>30), por ello los intervalos de confianza anteriores se les suele llamar intervalos de confianza para muestras grandes. Si las muestras son pequeñas el enfoque anterior no funciona y para lograr un procedimiento válido se supondrá que la población tiene una distribución Normal UMSNH - FIE

21 Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza desconocida) Si la población es Normal, la siguiente estadística Tiene una distribución t con N-1 grados de libertad -ta/2,N ta/2,N T a/ a/2 UMSNH - FIE

22 Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza desconocida) -ta/2,N ta/2,N T a/ a/2 de la figura: P{-ta/2,N-1  T  ta/2,N-1 }=1-a. Con lo cual el intervalo de confianza del 100(1-a)% para la media es Ejercicio: Repetir el ejemplo de la conductividad del hierro suponiendo que no se conoce la varianza UMSNH - FIE

23 Intervalo para la Varianza
Intervalo para la Varianza de una distribución Normal Si la Población es Normal, la distribución muestral del estadístico siguiente Donde S2 es la varianza muestral usada como estimador puntual de s2 Es de tipo Ji-cuadrada con N-1 grados de libertad c2a/2,N c21-a/2,N X a/ a/2 UMSNH - FIE

24 Intervalo para la Varianza
Intervalo para la Varianza de una distribución Normal c2a/2,N c21-a/2,N X a/ a/2 De acuerdo a la figura, P(c21-a/2,N-1  X  c2a/2,N-1) = 1-a Por lo tanto, el intervalo de confianza del 100(1-a)% buscado para la varianza es Ejercicio: Hallar el intervalo de confianza del 95% para la varianza en el ejemplo de la conductividad del hierro UMSNH - FIE

25 Intervalo para la Varianza
Intervalo para la Varianza de una distribución Normal Intervalos de confianza unilaterales.- En el caso de la varianza es más común buscar cotas inferiores o superiores que ambas a la vez Intervalo de confianza inferior.- Se obtiene reemplazando el límite superior por  y c21-a/2,N-1 por c21-a,N-1, obteniendo: Intervalo de confianza superior.- En forma similar, se reemplaza el límite inferior por 0 y c2a/2,N-1 por c2a,N-1, obteniendo: UMSNH - FIE

26 Intervalo para la Varianza
Intervalo para la Varianza de una distribución Normal Ejercicio: Un fabricante de detergente líquido está interesado en la efectividad de su proceso para llenar envases de detergente. La norma dice que no se debe tener una desviación estándar s en el proceso mayor de 0.15, ya que de lo contrario habrá envases más vacíos de lo permitido. Se toma una muestra aleatoria de 20 envases y se obtiene una varianza muestral s2= onzas2. ¿Es esta medición una evidencia de que se está cumpliendo la norma con una confianza del 95% ? Sugerencia: se puede usar la función chi2inv de Matlab UMSNH - FIE

27 Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para una Proporción Se toma una muestra de tamaño N de una población muy grande y resulta que X datos de la muestra pertenecen a alguna clase de interés. Entonces un estimador puntual de la proporción p de los datos de la población que pertenecen a la clase en cuestión es: P=X/N ^ Nótese que N y p son los parámetros de una distribución binomial P ^ La distribución de muestreo de se puede considerar aproximadamente Normal con media p y varianza p(1-p)/N, siempre que p no esté muy cerca de 0 o de 1 y si N es relativamente grande UMSNH - FIE

28 Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para una Proporción De lo anterior, la distribución de la variable Es aproximadamente N(0,1) Entonces, partiendo de P{-za/2  Z  za/2 }=1-a Obtenemos el siguiente intervalo de confianza aproximado del 100(1-a)% para la proporción p de la población que pertenece a la clase dada: UMSNH - FIE

29 Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para una Proporción Ejemplo: De 1000 casos de cáncer pulmonar seleccionados al azar, 823 son de pacientes que fallecieron. Construya un intervalo de confianza del 95% para la tasa de mortalidad del cáncer pulmonar Solución: La tasa de mortalidad es la proporción de los que mueren a los que contraen el cáncer pulmonar, de la muestra tenemos que = Por otro lado z0.025=1.96, entonces: Es decir, p0.847 p ^ UMSNH - FIE

30 Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos distribuciones Normales Situación: Se tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas s12, s22 respectivamente. Se tienen disponibles dos muestras aleatorias de tamaños N1, N2 una de cada población respectivamente. Sean S12 S22 las varianzas muestrales respectivas. Se busca un intervalo de confianza del 100(1-a)% del cociente de varianzas s12/ s22 Para hallar el intervalo de confianza se debe recordar que la distribución de muestreo del estadístico siguiente Es de tipo F con N2-1 y N1-1 grados de libertad en el numerador y denominador respectivamente. (Ver la figura siguiente) UMSNH - FIE

31 Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos distribuciones Normales fa/2,N2-1,N f1-a/2,N2-1,N F a/ a/2 Así, de la figura: P{fa/2,N2-1,N1-1  F  f1-a/2,N2-1,N1-1}=1-a Por lo tanto, el intervalo de confianza buscado es: UMSNH - FIE

32 Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos distribuciones Normales Ejemplo: Una compañía fabrica piezas para turbinas. Tiene dos procesos distintos para hacer el esmerilado de las piezas y ambos procesos producen terminados con la misma rugosidad promedio. El ingeniero del proceso desea seleccionar el proceso con la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de 12 piezas del primer proceso, obteniendo una desviación estándar muestral s1= 5.1 micropulgadas, luego toma una muestra de 15 piezas del segundo proceso, obteniendo s2= 4.7. ¿Puede elegir el primer poceso con una confianza del 90% de tener menor variabilidad en la rugosidad? Solución: Suponiendo que los dos procesos son Normales e independientes. Usando la función finv de Matlab, obtenemos f0.95= y f0.05=0.3898, por lo tanto, Haciendo operaciones: Como el intervalo incluye la unidad, no se puede concluir que los procesos tengan variabilidad sgnificativamente diferente con una confianza del 90% UMSNH - FIE

33 Otros intervalos de Confianza
Resumen de intervalos de confianza Parámetros de interés Suposiciones La media m Dist. Muestral Normal (o N grande) s2 conocida s2 desconocida (Dist. Muestral T) La varianza s2 Dist. Normal (Dist. Muestral Ji2 ) Proporción p Dist. Muest. Normal (N grande, p alejado de 0 y de 1) Cociente de varianzas s12/s22 Dos poblaciones Normales e independientes (Dist. Muestral tipo F) Diferencia de medias m1-m2 Distribuciones normales, s12 y s22 conocidas s12 = s22 desconocidas (Dist muest T) s12  s22 desconocidas (Dist muest T) Diferencia entre dos proporciones p1-p2 Dist. Muestral Normal (N1 y N2 grandes, p1 y p2 alejados de 0 y de 1) Otras... (Ver libros de estadística) UMSNH - FIE

34 Intervalos de Tolerancia
Concepto En ocasiones no nos interesa estimar algún parámetro, sino establecer un rango en donde se puede esperar que caigan observaciones (datos) individuales en un proceso. La respuesta es muy sencilla si se conoce la distribución y los parámetros de la población, por ejemplo, si se obtuvo una muestra aleatoria de una población Normal con media m y varianza s2 conocidas, se esperará que el 95% de los datos caerán entre los límites m  1.96s A este intervalo se le llama intervalo de tolerancia y si m y s son conocidos la cobertura del 95% es exacta UMSNH - FIE

35 Intervalos de Tolerancia
Concepto Si m y s son desconocidos a veces se puede determinar una constante k tal que los límites  ks constituyan un intervalo de tolerancia para una distribución normal x En este caso los límites del intervalo son variables aleatorias y la proporción de datos cubierta por el intervalo no es exacta. Entonces se debe introducir un intervalo de confianza para la proposición de los límites del intervalo de tolerancia. En la bibliografía se pueden consultar tablas para elegir estos límites dada una confianza deseada para el caso Normal. UMSNH - FIE

36 Intervalos de Confianza y Regresión Lineal
Intervalo de Confianza para la Respuesta Media En la regresión lineal se supone un modelo de la forma y = mx + b Para describir la “respuesta” y del proceso bajo la entrada x Para una muestra de N puntos (valores de x, y) se calculan valores estimados m, b de m, b resolviendo las ecuaciones normales, de manera que se obtiene un modelo estimado y = mx + b ^ ^ ^ ^ ^ Así, para un dato x0, se puede estimar una predicción puntual para my/xo (respuesta media) mediante: my/xo = mx0+ b ^ ^ ^ Se puede encontrar un intervalo de confianza para la respuesta media my/xo dado un valor x0 como se explica a continuación UMSNH - FIE

37 Intervalos de Confianza y Regresión Lineal
Intervalo de Confianza para la Respuesta Media Un intervalo de confianza alrededor de la respuesta media my/xo del 100(1-a)% para el valor de x=x0 está dado por: Donde my/xo se calcula a partir del modelo de regresión estimado Además, s2= S(yi - (m xi+b) )2/(N-2) y Sxx = S(xi-x)2 . ^ _ ^ ^ Obsérvese que el ancho de este intervalo de confianza es mínimo para x0= x y crece a medida que |x0 - x| aumenta. En la siguiente gráfica se muestra un comportamiento típico de este intervalo _ _ UMSNH - FIE

38 Intervalos de Confianza y Regresión Lineal
Intervalo de Confianza para la Respuesta Media Límites del intervalo de confianza para la respuesta media Puntos experimentales Recta de regresión Observación: Estos límites de intervalo están basados en los puntos experimentales dados, no se pueden usar para predecir intervalos sobre datos nuevos. A los límites para nuevos datos se les llama límites de predicción y son más amplios que los límites para la respuesta media UMSNH - FIE