DERIVADAS DE OPERACIONES Bloque III * Tema 122 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. Sea f(x) = k Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) k - k 0 f ‘ (x) = lím ------------------- = --------- = ------- = 0 h 0 h h h Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) x + h - x h f ‘ (x) = lím ------------------- = -------------- = ------ = 1 h 0 h h h 2 Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función: 2 2 2 2 2 f (x + h) - f(x) (x + h) - x x + 2.x.h + h - x f ‘ (x) = lím ---------------------- = ------------- = ------------------------- = h 0 h h h = 2.x + h = 2.x + 0 = 2.x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. 3 2 Sea f(x) = x  De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3.x Resumiendo: f (x) = x  f ‘ (x) = 1 2 f (x) = x  f ‘ (x) = 2.x 3 2 f (x) = x  f ‘ (x) = 3.x n n - 1 Generalizando: f (x) = x  f ‘ (x) = n. x Como se ve para hallar la función derivada de una expresión polinómica, el exponente de la x pasa multiplicando y el nuevo exponente presenta una unidad menos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS DERIVADA DE LA SUMA Sea y = f(x)+g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x + x) + g(x + x) ‑ f(x) ‑ g(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ = x0 x f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------- + ------------------------ = x0 x x f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- + lím ------------------------ = x0 x x0 x y’ = f ’(x) + g ‘(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS DERIVADA DEL PRODUCTO Sea y = f(x). g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x + x). g(x + x) ‑ f(x). g(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ = x0 x Sumamos y restamos f(x).g(x+x) al numerador, quedando: f(x + x). g(x + x) ‑ f(x) . g(x) + f(x).g(x+x) - f(x).g(x+x) = lím ‑‑------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------------------------------------- x 0 x Sacando factor común : [f(x + x) - f(x)]. g(x + x) + [g(x + x) - g(x)]. f(x ) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------------------------------------------------- x0 x f(x + x) - f(x) g(x + x) - g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---- g(x + x) + lím ---------------------- f(x) = x0 x x0 x y ’ = f ‘(x) . g(x) + f(x) . g ’(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS DERIVADA DE LA INVERSA Sea y = k.f(x) Aplicando la definición de derivada: k. f(x + x) - k.f(x) k. [f(x + x) - f(x)] y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------- = lím ---------------------------- = k. f ‘(x) x0 x x0 x Sea y = 1 / f(x) Aplicando la definición de derivada: 1 / f(x + x) - 1 / f(x) f(x) - f(x + x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------- = lím ---------------------------- = x0 x x0 f(x). f(x + x). x - [f(x + x) - f(x)] 1 1 - f ‘(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----- . ------------------- = - f ‘(x). ---------- = ------- x0 x f(x). f(x + x) f(x).f(x) f 2(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DERIVADA DE LA DIVISIÓN Sea y = g(x) / f(x) Poniéndolo de la forma: y = g(x). 1 / f(x) y operando como producto de dos funciones: g ’(x) - f ‘(x) y ' = g ‘(x). 1 / f(x) + g(x).[ 1/f(x)]’ = --------- + g(x). -------- f(x) f 2 (x) y sacando mínimo común múltimo resulta: g ‘(x). f(x) - g(x). f ‘(x) y ‘ = ------------------------------------- f 2 (x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

OTRAS DERIVADAS MUY EMPLEADAS Sea y = √x Siempre se puede poner previamente como y = x1/2 Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: y ’ = 1 / 2√x Sea y = 1 / x Siempre se puede poner previamente como y = x – 1 y ’ = – 1/ x2 Sea y = 1 / f (x) Sea cual sea el tipo de la función f(x) su derivada es: y ‘ = – f ‘(x) / f 2 (x) Por eso es importante memorizar su derivada, aunque no imprescindible. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS REGLA DE LA CADENA Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo (fog)(x)) que (gof)(x)) Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas. Sea y = f(g(x))  y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) (1) Sea y = g(f(x))  y’ = g ‘ (f(x)) . f ‘ (x) (2) Ejemplo 1 Sea f(x) = x3 y g(x) = (x – 1) Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (x – 1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1 Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = 1 ,, f ’(g(x)) = 3x2 – 6x + 3 ,, g ’(f(x)) = 3x2 (1) y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) = (3x2 – 6x + 3 ).1 = 3x2 – 6x + 3 Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = x3 – 1 (2) y’ = g ’ (f(x)) . f ‘ (x) = 1 . 3x2 = 3x2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS REGLA DE LA CADENA Ejemplo 2 Sea f(x) = x3 y g(x) = sen x Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (sen x)3 Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = cos x ,, f ’(g(x)) = 3.(sen x)2 . cos x Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = sen x3 Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = cos x ,, g ’(f(x)) = cos x3 . 3. x2 Ejemplo 3 Sea f(x) = x2 y g(x) = ln x Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (ln x)2 Derivadas : f ’(x) = 2.x ,, g ’(x) = 1 / x ,, f ’(g(x)) = 2.(ln x) . (1 / x) Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = ln x2 = 2.ln x Derivadas : f ’(x) = 2.x ,, g ’(x) = 1 / x ,, g ’(f(x)) = 2. (1 / x) = 2 / x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS