La integral Determina la antiderivada más general. Interpreta la integral y su relación con la derivada. Define la integral definida. Calcula áreas de regiones limitadas en el plano.

Antiderivadas Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I. Observación: De la definición se ve que F no es única. Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.

Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria. Teorema: Si dos funciones P y Q son antiderivadas de una función f en un intervalo I , entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I.

INTERPRETACION GEOMETRICA

INTERPRETACION GEOMETRICA

INTERPRETACION GEOMETRICA

INTERPRETACION GEOMETRICA

Ejemplo 1 Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.

Antiderivada particular Función

INTEGRAL DEFINIDA Y CALCULO DE ÁREAS ¿Área? A2 A4 A3 A1

Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

No tiene significado, indica respecto a que variable se integra. Limite superior Integrando Limite Inferior El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración.

2° Teorema Fundamental del Cálculo Si f es una función continua en [a, b] y F una antiderivada de f en [a, b], entonces: Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Propiedad de linealidad 1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y  y  son constantes, se tiene: Propiedad de linealidad

Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha: Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración

La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua. Ejemplo: Si y se quiere hallar:

3. Y representa el área de un rectángulo de altura h y longitud de base (b – a).

DEFINICIONES: Sea f una función integrable en [a, b], entonces:

ò Definición: Sea f una función contínua tal que: f(x) 0 en [a, b] y S={(x, y)/ axb, 0yf(x)} Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por: ò = b a dx ) x ( f S A

y x dx f(x) y = f(x) dA = f(x)dx dx a b

Ejemplo 1: Calcular el área de la región: S={(x, y)/ 0  x  2, 0  y  x2 + 1}

y x d c g(y) dy x = g(y) dy dA = g(y)dy

Ejemplo 2: Hallar el área de la región limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura.

f(x) dx y x - g(x) y = f(x) b a dx dA =[f(x) - g(x)]dx y = g(x)

3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x3 ; -1 1 x y

4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3;