Interpolación y aproximación polinomial Programación Numérica

Definición Un polinomio de grado n es una expresión de la forma: P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0 Donde an <> 0 Teorema (teorema de aproximación de Weierstrass) Suponga que f está definida y es continua en [a, b]. Para e > 0 existe un polinomio P definido en [a, b], con la propiedad de que |f(x) – P(x)| < e, para toda x en [a, b]

Desarrollo en series de Taylor Sea f(x) = ex Desarrollando en serie de Taylor alrededor de x = 0 P0(x) = 1 P1(x) = 1 + x P2(x) = 1 + x + x2/2 P3(x) = 1 + x + x2/2 + x3/6 P4(x) = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24 P5(x) = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24 + x5/120

Valores de ex Valores de las aproximaciones de ex con polinomios de Taylor

Expansión de Taylor para 1/x

Interpolación polinomial de Newton Revisaremos solo algunos casos: lineal, de segundo grado y de tercer grado.

Interpolación lineal Utilizando triángulos semejantes Reordenando f(x)

Ejemplo Valor real ln 2 = 0.6931472 Error relativo porcentual = 33.3% Estimar ln 2 mediante interpolación lineal si ln1 = 0 y ln 6 = 1.791759 y ln 4 = 1.386294 Valor real ln 2 = 0.6931472 Error relativo porcentual = 33.3% f(x) = ln x Valor verdadero f1(x) Estimaciones lineales

Interpolación cuadrática Polinomio cuadrático f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) (1) simplificado f2(x) = b0 + b1x – b1x0 + b2x2 + b2x0 x1 – b2xx0 – b2xx1 Podemos escribirlo como f2(x) = a0 + a1x + a2x2 Donde a0 = b0 – b1x0 + b2x0 x1, a1 = b1 – b2x0 – b2x1, a2=b2 Podemos evaluar b0, b1 y b2 sustituyendo x0, x1 y x2 en la ecuación (1), se obtiene b0 = f(x0)

ejemplo 2 Calculemos ln 2 con ln 4 y ln 6, los punto que se conocen son: x0 = 1 f(x0) = 0 x1 = 4 f(x0) = 1.386294 x0 = 6 f(x0) = 1.791759 Aplicando las ecs. anteriores b0 = 0 b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981 b2 = ((1.791759 – 1.386294) /(6 – 4) – 0.4620981)/(6 – 1) = – 0.0518731 El polinomio es f2(x) = 0.4620981(x – 1) – 0.0518731(x – 1)(x – 4) f2(2) = 0.5658444 f(x) = ln x Valor verdadero Estimación cuadrática Estimación lineal Valor real ln 2 = 0.6931472 Error relativo porcentual = 18.4%

Forma general Polinomio general fn(x) = b0 + b1(x – x0) +...+ bn(x – x0)(x – x1)... (x – xn–1) Los coeficientes se calculan con b0 = f(x0) b1 = f [x1, x0] b2 = f [x2, x1, x0] bn = f [,xn, xn–1, ..., x1, x0] Donde los paréntesis cuadrados se denominan diferencias divididas finitas. La n-ésima diferencia dividida finita es: Se conoce como polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas.

ejemplo 3 Calculemos ln 2 con ln 0, ln 4, ln 5 y ln 6, los punto que se conocen son: x0 = 1 f(x0) = 0 x1 = 4 f(x1) = 1.386294 x2 = 6 f(x3) = 1.791759 x3 = 5 f(x2) = 1.609438 primeras diferencias f [x1, x0] = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4602981 f [x2, x1] = (1.791759 – 1.386294)/(6 – 4) = 0.2027326 f [x3, x2] = (1.609438 – 1.791759)/(5 – 6) = 0.1823216 Segundas diferencias f [x2, x1, x0] = (0.2027326 – 0.4602981)/(6 – 1) = –0.05187311 f [x3, x2, x1] = (0.1823216 – 0.2027326)/(5 – 4) = –0.02041100 tercera diferencia f [x3, x2, x1 , x0] = (–0.02041100–(–0.05187311))/(5 – 1) = 0.007865529 Polinomio f3(x) = 0 + 0.4602981(x – 1) –0.05187311(x – 1) (x – 4) + 0.007865529(x – 1) (x – 4) (x – 6) Valor calculado con el polinomio f3(2) = 0.6287686

Ejemplo 3 (cont.) f3(x) Valor verdadero f(x) = ln x Estimación cúbica

Estimación del error Para estimar el error requerimos de un datos más (xn+1). La siguiente fórmula puede utilizarse para estimar el error. Rn = f [,xn+1, xn, ..., x1, x0](x – x0) (x – x1)... (x – xn)

Interpolación y polinomio de Lagrange Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que Ln,k(xi) = 0 cuando i  k y Ln,k(xk) = 1 Se requiere entonces que el numerador contenga (x – x0) (x – x1)... (x – xk–1)(x – xk+1)... (x – xn) El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk.

N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange Teorema Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, 2, ...n Este polinomio está dado por donde

Aproximación a 1/x con interpolantes de Lagrange Usaremos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4, para obtener un polinomio de grado 2 para 1/x. f(x0) = 0.5, f(x1)= 0.4 y f(x2) = 0.25. Los polinomios de Lagrange son: P(x) = 0.5*((x–6.5)x+10)+0.4*((–4x+24)x–32)/3+ 0.25*((x + 4.5)x+5)/3 P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 = 0.05x2 – 0.425x + 1.15 f(3) = P(3) = 0.325

Aproximación a 1/x con interpolantes de Lagrange P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 f(3) = P(3) = 0.325

El error en la interpolación de Lagrange El error en la interpolación de Lagrange puede calcularse con

Algoritmo en Matlab function fi = Lagran_(x, f, xi) fi=zeros(size(xi)); np1=length(f); for i=1:np1 z=ones(size(xi)); for j=1:np1 if i~=j, z = z.*(xi - x(j))/(x(i)-x(j));end end fi=fi+z*f(i); return

Calcula coeficientes de P2(x) %Calcula el polinomio interpolante de Lagrange de grado 2 function [a,b,c] = Lagrange(x0,x1,x2,fx0,fx1,fx2) t0 = (x0 - x1)*(x0 - x2); t1 = (x1 - x0)*(x1 - x2); t2 = (x2 - x0)*(x2 - x1); a = fx0/t0 +fx1/t1 +fx2/t2; b = -fx0*(x1 + x2)/t0 - fx1*(x0 + x2)/t1 - fx2*(x0 + x1)/t2; c = fx0*x1*x2/t0 + fx1*x0*x2/t1 + fx2*x0*x1/t2;

Interpolación Inversa Tabla de valores de f (x) = 1/x. x 1 2 3 4 5 6 7 f (x) 1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 0.1429 Se desea conocer el valor de x tal que f (x) = 0.3. El problema se resuelve definiendo un polinomio de interpolación de grado 2 con los puntos (2, 0.5), (3, 0.3333) y (4, 0.25) y resolviendo la ecuación: f (x) = 0.3 = 1.08333 – 0.375x + 0.041667x2 Lo que da x = 5.704158 y x = 3.295842, el valor real es 3.333.

Trazadores (Splines) Dados n +1 puntos podemos construir un polinomio de grado n para interpolar valores dentro del intervalo. También se pueden usar líneas rectas entre cada par de puntos para hacer interpolación lineal entre ellos o polinomios cuadráticos o cúbicos. Tales interpoladores se llaman trazadores lineales, cuadráticos y cúbicos, respectivamente. La ventaja de los trazadores es que no presentan el efecto de oscilación de los polinomios de alto grado.

f (x) x f (x) f (x) f (x)

Trazadores lineales Para los trazadores lineales se definen rectas entre cada intervalo para calcular los valores intermedios. f (x) = f (x0) + m0(x – x0) x0 <= x <= x1 f (x) = f (x1) + m1(x – x0) x1 <= x <= x2 f (x) = f (x0) + mn–1 (x – x0) xn–1 <= x <= xn Los valores de mi se calculan con:

ejemplo x f (x) 3.0 2.5 4.5 1.0 7.0 9.0 0.5 2 2 4 6 8 10

Trazadores cuadráticos El polinomio en cada intervalo es de la forma: fi(x) = ai x2 + bi x + ci Para encontrar los ai , bi , ci se deben cumplir las siguientes condiciones: 1. Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores, 2n – 2 ecuaciones. 2. La primera y última función debe pasar por los extremos, 2 ecuaciones. 3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales, n – 1 ecuaciones. O sea: 2ai –1 xi–1 + bi –1 = 2ai xi–1 + bi 4. Suponer derivada 0 en el primer punto. a1 = 0

ejemplo x f (x) 3.0 2.5 4.5 1.0 7.0 9.0 0.5 Encontrar f (5)

La condición 1 genera las siguientes ecuaciones: 20.25a1 + 4.5b1 + c1 = 1.0 20.25a2 + 4.5b2 + c2 = 1.0 49a2 + 7b2 + c2 = 2.5 49a3 + 7b3 + c3 = 2.5 La condición 2 da las siguientes ecuaciones 9a1 + 3b1 + c1 = 2.5 81a3 + 9b3 + c3 = 0.5 La condición 3 genera: 9a1 + b1 = 9a2 + b2 14a2 + b2 = 14a3 + b3

El sistema resultante es: La solución es: a1 = 0 b1 = –1 c1 = 5.5 a2 = 0.64 b2 = –6.67 c2 = 18.46 a3 = –1.6 b3 = –24.6 c3 = 91.3 f(5) = 0.64(5)2 – 6.67(5) +18.46 = 1.11

yi = ppval (pp, xi) - Evalúa polinomio a trozos pp en los puntos xi yi = ppval (pp, xi) - Evalúa polinomio a trozos pp en los puntos xi. Si pp.d es un escalar mayor que 1, o un arreglo, entonces el valor regresado yi será un arreglo que es d1, d1, ..., dk, length (xi). pp = spline (x, y) yi = spline (x, y, xi) Regresa los interpolantes cúbicos de y en los puntos x. Si se llama con dos argumentos, regresa los trozos polinomicos pp que ueden ser evaluados con ppval. Si se llama con tres parámetros, evalúa el los puntos xi.

Splines cúbicos Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas primera S' y segunda S'', es posible encontrar la expresión analítica del spline. Donde hi = xi+1 – xi y z0, z1, … ,zn son incognitas.

Aplicando las condiciones de continuidad se llega a La ecuación anterior, genera un sistema de n–1 ecuaciones lineales con n+1 incógnitas. donde

Los valores del spline S se calculan eficientemente con Donde

Los coeficientes de los polinomios se pueden calcular con: c1 = yi – xi D c2 = D – xi E c3 = E – xi A c4 = A Para obtener: fi (x) = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 x3 Donde

Guión en MatLab %encuentra los trazadores cúbicos para un conjunto de puntos x,y % x - vector con los n valores de x % y - vector con los n valores de y % w - matriz de n-1 por 4 con los coeficientes de los polinomios cúbicos function w = spline3(x,y) [dummy n] = size(x); for i = 1:n-1 h(i) = x(i+1)-x(i); b(i) = 6*(y(i+1)-y(i))/h(i); end u(2) = 2*(h(1)+h(2)); v(2) = b(2)-b(1); for i = 3:n-1 u(i) = 2*(h(i)+h(i-1))-h(i-1)^2/u(i-1); v(i) = b(i)-b(i-1)-h(i-1)*v(i-1)/u(i-1);

z(n) = 0; for i = n-1:-1:2; z(i) = (v(i)-h(i)*z(i+1))/u(i); end z(1) = 0; for i = 1:n-1 A = (z(i+1)-z(i))/6/h(i); B = z(i)/2; C = -h(i)*z(i+1)/6-h(i)*z(i)/3+(y(i+1)-y(i))/h(i); D = C-x(i)*B+A*x(i)^2; E = B-2*x(i)*A; w(i,4) = y(i)-x(i)*D; w(i,3) = D-x(i)*E; w(i,2) = E-x(i)*A; w(i,1) = A; end end

Ejemplo