Problemas de optimización. DERIVADA

Habilidades Identifica los tipos de problemas de optimización. Reconoce y pone en práctica las etapas para la solución de los problemas de optimización. Pone en práctica la prueba de la primera derivada y resuelve problemas de optimización con la asesoría del profesor.

Prueba de la primera derivada Prueba de la primera derivada para valores extremos absolutos Sea c un punto crítico de una función continua f definida sobre un intervalo abierto. Si f ’(x) > 0 para todo x < c y f ’(x) < 0 para todo c < x, entonces f (c) es el valor máximo absoluto de f. Si f ’(x) < 0 para todo x < c y f ’(x) > 0 para todo c < x, entonces f (c) es el valor mínimo absoluto de f.

Teorema del valor extremo Para hallar los extremos absolutos de una función f continua en [a, b]: 1 Halle los valores de f en los puntos críticos de f en <a, b>. 2 Halle f (a) y f (b). 3 El mayor de los valores obtenidos en 1 y 2 es el máximo absoluto de f en [a, b]. El más pequeño es el mínimo absoluto.

Una o más ecuaciones de enlace Una función objetivo Problemas De Optimización De Una Variable Se tratan de problemas en lo cuales se desea encontrar la solución optima Una o más ecuaciones de enlace Una función objetivo Un intervalo de decisión

Problema Área Encuentre el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r. y Área (x,y) y 2x x -r O r visualcalculus

Problema Área Encuentre el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r. O r rcosΘ rsenΘ Θ Área

Pasos para la solución Pasos para la solución de problemas de optimización Comprender el problema: ¿cuál es la incógnita? ¿cuáles son las cantidades dadas? ¿cuáles son las condiciones dadas? Dibujar un diagrama e identificar en él las cantidades dadas y requeridas. Introducir una notación. Asignar símbolos a la cantidad que se va a maximizar o minimizar y a las cantidades descono- cidas. Relacionar las cantidades conocidas y desconocidas median- ecuaciones. Eliminar variables hasta expresar la cantidad requerida en términos de una variable. Aplicar los métodos estudiados para hallar el máximo o el mínimo absoluto de la cantidad requerida.

Problema y Área x Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto. No necesita cercar a o largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? Área x y

Problema Se va a producir una lata cilíndrica para que con tenga 1000 cm3 de aceite. Encuentre las dimensiones que minimizan el costo total del metal para producir la lata, si el costo por cm2 es de S/. 0,50. Costo h r

Problema Distancia Encuentre el punto sobre la parábola y2=2x más cercano al punto (1; 4). x 2 Distancia

Problema Un hombre está en un punto A sobre una de las riberas de un río recto que tiene 3 km de ancho y desea llegar hasta el punto B, 8 km corriente abajo en la ribera opuesta, tan rápido como le sea posible. Podría remar en su bote, cruzar el río directamente hasta el punto C y correr hasta B; podría remar hasta B o, en última instancia, remar hasta algún punto D, entre C y B y luego correr hasta B. Si puede remar a 6 km/h y correr a 8 km/h, ¿dónde debe desembarcar para llegar a B tan pronto como sea posible? A C D B 8 km 3 km Tiempo

Problema Dos postes de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies. Hay que conectarlos mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre ellos. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor cantidad de cable posible?

Problema Dos aviones A y B vuelan a la misma altura horizontalmente tal como lo muestra la figura. Si la velocidad de A es 16 km/min y la de B es 20 km/min, determine en cuántos segundos los aviones estarán lo mas cerca posible y a qué distancia. 20 km B A N E S W

Problema Un hotel cobra $ 80 por habitación, y da precios especiales a grupos turísticos que reserven entre 30 y 60 habitaciones. Si se ocupan más de 30 cuartos, el precio por habitación disminuye en $ 1 por cada cuarto arriba de los 30. ¿Cuál es el tamaño del grupo que aporta al hotel una ganancia máxima si cada cuarto ocupado le cuesta al hotel $ 6 cada día por limpieza y mantenimiento?

Problema Para la construcción de una obra, hay que llevar tramos de tuberías a través de un pasillo cuya vista en planta se acompaña. Para minimizar el número de empates posteriores, se quiere que los tramos de tubo sean los mayores posibles. ¿Qué longitud deben tener? 3 m 2 m

Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Sección 4.7 Ejercicios 4.7 pág 334: 7, 8, 11, 12, 15, 17.