Criel Merino Permutaciones alternantes y gráficas completas

El polinomio de Tutte Para G=(V,E), una grafica, definimos la función rango de un subconjunto de arista como Para H=(V,A),  (A) es el número de componentes conexas de H. r(A)=tamaño de un bosque generador máximo.

El polinomio de Tutte El polinomio de 2 variables es conocido como el polinomio de Tutte es conocido como el polinomio de Tutte. Nota: r(E)-r(A)=k(A)-k(G)

b G (q,j)= número de q-coloraciones de G con j aristas monocromáticas. b(  )=conjunto de aristas monocromáticas en la coloración . B G (q, ) = q 5 + (2q 2 – 2q) 3 + (4q 2 – 4q) 2 + (5q 3 – 14q 2 + 9q) + (q 4 – 5q 3 + 8q 2 – 4q) F. G. aristas monocromáticas

T G y B G

T n (x,y)

Teorema (Tutte 67) T n (x,y)

T n (x,-1)

T n (1,-1) Teorema (Mallows and Riordan ‘68)

T n (1,-1) F(t) es la F.G.E. de la sucesión 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,…

Teorema. Para n  0, T n+2 (1,-1)=T n (2,-1). T n+2 (1,-1)=T n (2,-1). T n+2 (1,-1)=T n (2,-1).

Derivando dos veces

Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1 T n+2 (1,-1)=T n (2,-1).

Como T 0 (2,-1)=1, basta igualar coeficientes. T n+2 (1,-1)=T n (2,-1).

T n,m (x,y)

T n,m (1,-1)

T n (1,-1) 1, 1, 1, 1, 1, 1,… F(t,u) es la F.G.E. de la sucesión 1, 1, 1, 1, 1, 1,… 1,-1, 1,-1,1,-1,…

Teorema. Para n,m  0 T n+1,m+1 (1,-1)=T n,m (2,-1). T n+1,m+1 (1,-1)=T n,m (2,-1). T n+1,m+1 (1,-1)=T n,m (2,-1).

Diferenciando en t y luego en u

Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1 T n+1,m+1 (1,-1)=T n,m (2,-1).

Basta igualar coeficientes.

Otros ejemplos. Gráficas “Threshold”

T G (1,y) x=1, sólo quedan términos con r(A)=r(E), o sea |V|-  (A)= |V|-  (E), o sea, H=(V,A) es conexo.

T n (1,y)

1 k n B A H=({1,..,n},D) H=({1,..,n},D) |D|-r(D)= |A|-r(A)+|B|-r(B)+|C|-1 |D|-r(D)= |A|-r(A)+|B|-r(B)+|C|-1 C

T n (1,y) Variando A, B y C A C B

Una permutación  S n es alternate (o updown) si  (1)  (3)  (3)<…..Denotamos por Alt n a las permutaciones alternates en S n. Definimos a 0 =1 y a n =|Alt n |, o sea, a 1 =1,a 2 =1, a 3 =2,a 4 =5. Permutaciones alternantes Ejemplo n = 4: (1324) (1423) (2314) (2413) (3412)

Permutaciones alternantes Lema 1:  (1) … >  (j-1)  (j+1) … … >  (j-1)  (j+1) …<  (n) a j-1 a n-j

Permutaciones alternantes Proposición : Lema 1 sumando sobre j impar.

Permutaciones alternantes Teorema ( Goulden, Jackson ‘83)

Permutaciones alternantes Teorema ( Goulden, Jackson ‘83)

Permutaciones alternantes Corolario Para n  0,

Permutaciones alternantes Teorema ( André 1879) Basta derivar la F.G.E. de T n (1,-1) y hacer el cambio de variables -2t=u

FIN

Permutaciones alternantes Lema1:  (1) … 1  (j+2)  (n) a j-1 a n-j n-  (j+1) … …<n-  (n)  ’(1) … … <  ’(n-j)

Permutaciones alternantes Proposición: Lema 1 sumando sobre j impar Lema 2 sumando sobre j par

Polinomio de inversión Para un árbol A de K n con raíz en r, una inversión es un par de vértices (i,j) tal que i > j y además i esta en la única trayectoria de r a j en A. Sea inv(A) el número de inversiones de A. Inv(A)= 3

Polinomio de inversión El polinomio de inversiones es la suma es sobre todos los árboles generadores F n de K n con raíz en 1.

Polinomio de inversión

Sea G n el conjunto de árboles generadores de K n con raíz en r, 1  r  n.

Polinomio de inversión Proposición. Prueba. construir biyección tal que Sea

Polinomio de inversión

Proposición.

n 1 k A C B Inv (A)=inv( B) + inv (C)

Proposición. T n (1,y)=J n (y). Satisfacen la misma recurrencia y tienen la misma condiciones iniciales Polinomio de inversión

Permutaciones alternantes Teorema ( André 1879)

Permutaciones alternantes Proposición: Lema 2 sumando sobre j par Lema 1 sumando sobre j par