Matemáticas Discretas MISTI

Presentación del tema: "Matemáticas Discretas MISTI"— Transcripción de la presentación:

1 Matemáticas Discretas MISTI
Árboles Matemáticas Discretas MISTI

2 Introducción El tratamiento de grafos puede resultar una tarea complicada ya que estos tienen las siguientes características : No guardan una estructura establecida No respetan reglas Y la relación entre los nodos puede llegar a ser muy compleja

3 Introducción(II) Por lo tanto aplicarlos en ciertas tareas, como el tratamiento y organización de la información, puede ser muy complicado. Por ello en lugar de usar grafos que están estructurados sin regla alguna, se utilizan grafos con características particulares llamados árboles.

4 Definición Un árbol es un grafo
no dirigido(las aristas no tienen sentido), conexo en donde existe un camino entre cualquier par de vértices(v,w) y Sin ciclos Sin aristas múltiples

5 ¿Cuál de estos son árboles?
Respuesta= Ambos son árboles ya que son grafos conexos y acíclicos

6 ¿Cuál de estos grafos son arboles?
Respuesta= El primero no es un árbol, ya que e,b,a,d,e es un ciclo del grafo

7 ¿Cuál de estos grafos son arboles?
Respuesta= El segundo no es un árbol, ya que no es conexo

8 Árbol con raíz Es un árbol dónde uno de los ha sido designado como la raíz y todas las aristas están orientadas a alejarse de la raíz Con raíz en c Con raíz en a T

9 Nodos y ramas Los vértices de un árbol se llaman nodos y los lados reciben el nombre de ramas

10 Padres e hijos El padre de un nodo es un nodo de mayor nivel con el que se encuentra relacionado el nodo. Si v es el padre u, debe existir una arista dirigida de v a u. Cualquier nodo puede tener nodos relacionados en un nivel más bajo a los cuales se les reconoce como hijos. Dos nodos que tienen el mismo padre se dice que son hermanos. v es el padre de u y de y u y y son hijos de v u y y son hermanos

11 Antecesores y Descendientes
Los antecesores de un vértice diferente de la raiz son todos los vértices que aparecen desde el camino desde la raíz hasta ese vértice( excluyendo a este último e incluyendo la raíz). Los descendientes de un vértice v son aquellos para los que v e es un antecesor . Los antecesores de f son b, a y c Los descendientes de a son b, f y g

12 Hojas y vértices internos
Un vértice se llama hoja si no tiene hijos. Los vértices que tienen hijos se llaman vértices internos.

13 Árboles m-narios Un árbol con raíz se llama árbol m-ario si todos sus vértices internos tienen, a lo sumo, m hijos. El árbol se llama árbol m-ario completo si todo vértice interno tiene exactamente m hijos.

14 Niveles en un árbol El nivel de un vértice v en un árbol con raíz es la longitud del único camino desde la raíz a dicho vértice. El nivel de la raíz por definición es 0.

15 Altura La altura de un árbol con raíz es el máximo de los niveles de sus vértices. En otras palabras, la altura de un árbol es la longitud del camino más largo desde la raíz a cualquier vértice. Puesto que el mayor nivel es 4, el árbol tiene altura 4.

16 Árboles balanceados Un árbol con raíz m-ario de altura h está equilibrado o balanceado si todas sus hojas están en los niveles h o h-1 Árbol balanceado Árbol no balanceado

17 Balanceo de un árbol Para balancear un árbol con una cantidad constante de hijos de los nodos padres, se llenan empezando por la raíz y descendiendo con un avance de izquierda a derecha. Árbol balanceado como ternario Árbol no balanceado

18 Bosques Un bosque es un grafo acíclico pero no necesariamente conexo. Además tienen la propiedad de que cada una de sus componentes conexas es un árbol. Ejemplo de bosque

19 Árboles generadores Sea G un grafo simple. Un árbol generador de G es un subgrafo de G que es un árbol y contiene todos los vértices. Es decir, es un subgrafo conexo con el mínimo de aristas y con todos los vértices del grafo original. Grafo simple G Árbol generador de G

20 Ejemplo Considere un sistema de carreteras representadas por el grafo simple G. En invierno estas carreteras se llenan de nieve. El departamento de mantenimiento quiere limpiar el menor número de carreteras (ya que limpiarlas todas lleva mucho tiempo) de modo que dos ciudades cualesquiera queden siempre conectadas.

21 Obtención de un árbol generador
Existen dos formas en que es posible obtener el árbol generador de un grafo simple: Búsqueda a profundidad Búsqueda a lo ancho

22 Búsqueda a lo ancho Se comienza a buscar en la raíz
Después se examinan todos los hijos de la raíz de izquierda a derecha Si la información no se encuentra en ese nivel, se procede a buscar en el siguiente nivel de izquierda a derecha Si se recorrió todo el árbol y la información no se encontró se manda el mensaje correspondiente Este tipo de búsqueda es efectiva cuando el árbol está balanceado y hay pocos niveles

23 Ejemplo búsqueda a lo ancho
Se busca la letra ‘j’ Se busca en la raíz Se busca en el nivel 1 de izquierda a derecha Se busca en el nivel 2 de izquierda a derecha El recorrido para encontrar el nodo elegido es (a,b,c,d,e,f,g,h,i,j)

24 Búsqueda en profundidad
Se comienza a buscar en la raíz. Después se busca en el hijo de la izquierda y si este nodo tiene hijos se continúa con el de la izquierda y así sucesivamente hasta llegar a la parte más baja. Si este nodo ya no tiene hijo izquierdo , se continúa con el nodo de la derecha. Cuando se llega nuevamente a la hoja, se regresa hasta el nodo inmediato anterior que tenga hijos sin inspeccionar, y así sucesivamente. Si no se encuentra se manda el mensaje correspondiente Este tipo de búsqueda es efectiva cuando el árbol está balanceado y hay pocos niveles

25 Ejemplo búsqueda a profundidad
Se busca la letra ‘j’ Se busca en la raíz Se busca en los hijos de b Se busca en los hijos de c El recorrido para encontrar el nodo elegido es (a,b,e,f,g,c,h,l,m,n,i,j)

26 Generación de árbol por búsqueda a lo ancho
Elegimos, de modo arbitrario, un nodo inicial a Se añaden todos los nodos adyacentes a al nodo raíz

27 Generación de árbol por búsqueda a lo ancho
Se analiza el siguiente nodo que alfabéticamente sigue y se añaden los nodos adyacentes que aún no están en el árbol

28 Generación de árbol por búsqueda a lo ancho
Cómo a y b ya no tienen nodos adyacentes se inspecciona el nodo que sigue alfabéticamente (c) y se agregan los nodos adyacentes necesarios

29 Generación de árbol por búsqueda a lo ancho
Se analizan d y e pero ambos no tienen nodos adyacentes que agregar. Se analiza f y se agrega como nodo adyacente a i

30 Generación de árbol por búsqueda a profundidad
Se elige un nodo arbitrario a como raíz Construimos un camino tan largo como sea posible(cuando un nodo tiene 2 hijos se elige el de menor valor)

31 Generación de árbol por búsqueda a profundidad
Verificamos si d tiene nodos no visitados que sean adyacentes Regresamos a e y vemos que tiene un nodo adyacente no visitado f

32 Generación de árbol por búsqueda a profundidad
Verificamos si f tiene nodos adyacentes no visitados y construimos el camino más largo posible

33 Generación de árbol por búsqueda a profundidad
Verificamos si g no tiene adyacentes Regresamos a f y como tiene otro adyacente no visitado se construye el camino

34 Recorrido de un árbol Los árboles con raíz se utilizan frecuentemente para almacenar información. Por lo tanto se necesitan procedimientos que permitan visitar cada uno de los nodos. Existen tres maneras de recorrer un árbol (según la manera en que se coloca el padre con respecto a los hijos): Recorrido en orden primero Recorrido en orden segundo Recorrido en orden final

35 Orden primero Primero se toma el padre, luego el hijo izquierdo y al final demás hijos Se comienza por la raíz, después sigue el nodo de la izquierda, si este nodo tiene hijos se sigue por el nodo de la izquierda hasta llegar a la hoja Después se continua con el siguiente hermano de la derecha y así sucesivamente

36 Orden segundo Primero se toma el hijo izquierdo,luego el padre y al final demás hijos Se comienza por la raíz, después sigue el nodo de la izquierda, si este nodo tiene hijos se sigue por el nodo de la izquierda hasta llegar a la hoja Después se continua con el siguiente hermano de la derecha y así sucesivamente

37 Orden final En este recorrido se toma primero el hijo izquierdo, después los demás hermanos y al final el padre.

38 Búsquedas El árbol binario de búsqueda es aquel dónde cada hijo se designa como un vértice izquierdo o derecho. Cada vértice está etiquetado con una clave de modo de modo que la clave es mayor de su subárbol izquierdo y menor que todos sus vértices de su subárbol derecho.

39 Ejemplo Construye un árbol binario de búsqueda para las palabras matemáticas, paleontología, geografía, zoología, meteorología, geología, psicología y cosmología Paso 1: Se toma la primera palabra como raíz Paso2: Se compara la siguiente palabra con la raíz y si es mayor se coloca como nodo derecho y si es menor como nodo izquierdo

40 Ejemplo Recorridos Primero: 30,-10,3,-7,4,3,9,7,6,68,50,30,31,56,58,72,98 Segundo: -10,-7,3,3,4,6,7,9,30,30,31,50,56,58,68,72,98 Final: -7,3,6,7,9,4,3,-10,31,30,58,56,50,98,72,68,30

41 Ejemplo Crea un árbol de búsqueda binaria con la siguiente información: 30, -10,3,4,9,68,50,30,3,7,6,72,98,-7,56,31,58

42 Referencias Kenneth H. Rosen, Matemática Discreta y sus Aplicaciones, Quinta Edición, McGrawHill Jiménez , José A, Matemáticas para la Computación , Primer Edición, Alfaomega Grupo Editor

43 Gracias!!!

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