 E Expresión de un problema de programación lineal  A Aplicaciones de la programación lineal  S Soluciones de un problema de programación lineal.

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1  E Expresión de un problema de programación lineal  A Aplicaciones de la programación lineal  S Soluciones de un problema de programación lineal  R Resolución gráfica de un problema de programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

2  Expresión de un problema de programación lineal Expresión de un problema de programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Definición: Un problema de programación lineal es un programa matemático en el cual la función objetivo es lineal en las variables de decisión y cada restricción es una desigualdad lineal. Además tiene una restricción de signo; es decir, las variables de decisión son no negativas. s.a. Z, función objetivo, es la medida de efectividad global seleccionada donde representan las variables de decisión. representan los coeficientes de contribución; es decir, incremento que resulta en el objetivo por cada incremento unitario de representan las tasas de uso de la materia prima en la producción de la variable representan los recursos disponibles; es decir, la cantidad disponible del recurso “i” que consume cada unidad de la actividad “j”

3  Expresión de un problema de programación lineal Expresión de un problema de programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román s.a. Forma canónica de un problema de programación lineal

4  Expresión de un problema de programación lineal Expresión de un problema de programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román s.a. Forma estándar de un problema de programación lineal Todo problema lineal en forma canónica se puede pasar a forma estándar introduciendo variables de holgura o variables excedentes.

5  Aplicaciones de la programación lineal Aplicaciones de la programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 1.Una primera aplicación de la P.L. se encuentra en los problemas de “Asignación de Recursos”. Son problemas en los que existen recursos limitados y se busca la utilización máxima. El objetivo es maximizar utilidades. 2.Otra aplicación que responde a un problema de P.L. es el de minimizar pérdidas. La diferencia con el caso anterior es que se deben satisfacer unos requerimientos mínimos. 3.Problema de la mezcla : la mezcla de ingredientes básicos para fabricar productos. No sólo se se restringe a problemas de mezclas de alimentos, bebidas, etc., también se aplica en el análisis de inversiones.

6  Soluciones de un problema de programación lineal Soluciones de un problema de programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Definición: Una solución factible es aquella que verifica todas las restricciones de un P.P.L.; es decir, Definición: Se define la región factible como el conjunto de todas las soluciones factibles; es decir, Definición: Una solución óptima es una solución factible que da el valor más favorable de la función objetivo. Si, el problema es infactible Definición: Considérese el sistema de ecuaciones, en donde A es una matriz de dimensión y b un vector de dimensión m. Supóngase que el rango de A es m. Después de un reordenamiento de A, sea donde B es una matriz no singular de dimensión y N matriz singular de dimensión. La solución del sistema de ecuaciones, se denomina solución básica, donde y es el vector nulo.

7  Soluciones de un problema lineal Soluciones de un problema lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Definición: Si una o más variables básicas de una solución básica son iguales a cero, se dice que es una solución básica degenerada del sistema. Definición: Si todas las componentes del vector básico de una solución básica son no negativas, entonces x es una solución básica factible del sistema. Si además alguna componente es cero, entonces se denomina solución básica factible degenerada. Teorema Fundamental de la Programación Lineal Dado un P.P.L. en forma estándar donde la matriz de tasas de usos de dimensión y rango m 1.Si existe solución factible, existe solución básica factible. 2.Si existe solución factible óptima, existe solución factible básica óptima. Teorema de equivalencia Sea A una matriz de dimensión de rango m, b un vector de dimensión m y K un politopo convexo. Un vector x es un punto extremo del politopo, K, si y sólo si x es una solución básica factible del problema de programación lineal.

8  Resolución gráfica de un P.P.L. Resolución gráfica de un P.P.L. BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román SI NO SI NO SI Solución acotada NO Solución acotada SI NO