Matemáticas Acceso a CFGS LOGARÍTMOS Bloque I * Tema 008 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Raíces y logaritmos La potenciación tiene dos operaciones inversas: n a = √ b Raíz n-sima. an = b n = log b Logaritmo a IMPORTANTE: En toda expresión o ecuación algebraica donde la incógnita esté en el exponente, para resolverla, en general hay que aplicar logaritmos. Ejemplo: 2x = 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS LOGARITMOS DEFINICIÓN Si a > o y a <> 1, se llama logaritmo en base a de P, y se designa loga P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. loga P = x ↔ ax = P Ejemplos: log3 9 = 2 ↔ 32 = 9 log5 125 = 3 ↔ 53 = 125 log10 10000 = 4 ↔ 104 = 10000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Logaritmos decimales Sea la expresión: loga P = x ↔ ax = P Cuando el logaritmo es de base 10 se suele omitir el subíndice que indica la base. log P = x ↔ 10x = P Cuando presenta dicha base (a=10) se llama LOGARITMO DECIMAL. En la calculadora la tecla log log 2 = 0,301030 log 20 = 1,301030 log 200 = 2,301030 log 2000 = 3,301030 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Logaritmos neperianos Cuando el logaritmo es de base e también se omite el subíndice que indica la base, pero modificando la notación de la siguiente manera: ln P = x ↔ ex = P Cuando presentan dicha base se llaman LOGARITMOS NEPERIANOS, en honor a su creador, Neper, hacia 1614 . En la calculadora la tecla ln ln 2 = 0,693147 ln 20 = 2,995732 ln 200 = 5,298317 ln 2000 = 7,600902 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS PROPIEDADES 1.- Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si P <> Q  log P <> log Q a a Y además si a > 1 y P < Q  log P < log Q a a Ejemplos Sea 2 <> 3  log 2 <> log 3  0,301030 <> 0,477121 Sea - 2 <> 2  log (-2) <> log 2  No existen logaritmos de base negativa. Sea 2 < 3  log 2 < log 3  0,301030 < 0,477121 Sea 2 < 4  log 2 < log 4  - 1 < - 2 Falso, pues a < 1 1/2 1/2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 2.- El logaritmo de la base es 1 log a = 1  a1 = a a Ejemplos Log 2 = 1 , pues 21 = 2 2 Log 5 = 1 , pues 51 = 5 5 3.- El logaritmo de 1 es 0, sea cual sea la base log 1 = 0  a 0 = 1 , pues todo número elevado a 0 es la unidad. Ejemplo Log 1 = 0 , pues 10 0 = 1 ln 1 = 0 , pues e 0 = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 4.- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. loga x1 + loga x2 = loga (x1 x2) Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a) log 6 log 6 = log 2.3 = log 2 + log 3 = 0,301030 + 0,477121 = 0,778151 b) log 48 Log 48 = log 2.2.2.2.3 = log 2+ log 2+ log 2+ log 2+ log 3 = = 4 . 0,301030 + 0,477121 = 1,204120 + 0,778151 = 1,982271 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 5.- El logaritmo de una división es la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. loga x1 - loga x2 = loga (x1 / x2) Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a) log 0,5 log 0,5 = log 1 / 2 = log 1 - log 2 = 0 – 0,301030 = - 0,301030 b) log 250 Log 250 = log 1000 / 4 = log 1000 – log 4 = 3 – log 2.2 = = 3 – (log 2 + log 2) = 3 – 0,301030 – 0,301030 = 2,397940 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 6.- El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. p.loga x = loga x Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a) log 1024 log 1024 = log 210 = 10. log 2 = 10 . 0,301030 = 3,010301 b) log 81 Log 81 = log 34 = 4. 0,477121 = 1,908484 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplos Halla el valor de x en la expresión: 32000 . 23000 x = ---------------------- 52657 Tomamos logaritmos decimales: log x = log ( 32000 . 23000 / 52657 )= = log 32000 + log 23000 - log 52657 )= = 2000.log 3 + 3000. log 2 - 2657.log 5 = = 2000.0,477121 + 3000. 0,301030 – 2657. 0,698970 = = 954,242509 + 903,090000 – 1857,163301 = = 1857,332509 – 1857,163301 = = 0,179208 Luego si log x = 0,179208  x = 10 0,179208 = 1,510803 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 7.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando , partido por el índice de la raíz. n loga x loga √ x = ----------- n Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a) log √2 log √2 = (log 2) / 2 = 0,301030 / 2 = 0,150515 3 b) log √ 9 log √ 9 = (log 9) / 3 = (log 32) / 3 = (2. log 3) / 3 = 2. 0,477121 / 3 = = 0,318080 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 8.- El logaritmo de un número en una base cualquiera, a, es igual al logaritmo del mismo número en una base distinta, b, dividido por el logaritmo de la base, a, en base b. logb x loga x = ---------- logb a EJEMPLO DE CAMBIO DE BASE ¿Cuál es mayor, log 7 10 o log 5 7 ? Al ser las bases distintas, 5 y 7, no podemos comparar sus logaritmos. Al no ser ni logaritmos decimales ni neperianos, no podemos calcular sus valores. Es obligado el cambio de base. log 7 10 = x  7x = 10  log 7x = log 10 log 5 7 = y  5y = 7  log 5y = log 7  x. log 7 = log 10  x = log 10 / log 7 = 1,183294  y. log 5 = log 7  y = log 7 / log 5 = 1,209061 Como y > x  log 5 7 > log 7 10 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS