UPC Funciones reales Tema: de varias variables UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS UPC Funciones reales de varias variables Tema:
Gráficas de algunas superficies http://www.math.umn.edu/~rogness/quadrics/index.shtml
Funciones reales de dos variables Sea D contenido en R2. Una función f:D R (x,y) z=f(x,y) es una correspondencia que asocia a cada par (x,y) un único número real denotado por z=f(x,y)
Gráfica de una función: Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D} DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) para el cual tiene sentido la regla que define a f. Gráfica de una función: Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D} Curvas de Nivel: Son aquellas curvas que se generan al hacer z = k, cte. real
Curvas de nivel http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/levelcurve/
DERIVADA PARCIAL RESPECTO X Z Y X
Interpretación geométrica de derivada parcial http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/partialderivs.shtml
Ejemplo: Si Entonces:
Otras notaciones z = f(x,y)
Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)
Ejemplo: hallar fx y fy si
Derivadas parciales de segundo orden
Derivadas parciales de segundo orden
Ejemplo hallar Si
Teorema de Clairaut Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .
DERIVADAS DIRECCIONALES z y x
Interpretación geométrica de derivada direccional http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/dirderiv.shtml
Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por: si el límite existe.
Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:
Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la dirección del vector v = (1,2).
GRADIENTE z y x
Ñ del s en término direccional Derivada
Teorema a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0). b) La tasa máxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.
Corolario a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0) b) La tasa mínima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .