TEMA 11 EXPRESIONES DECIMALES Decimales periódicos y no periódicos. Expresión decimal de un número racional. Decimales exactos. Decimales periodicos puros. Decimales periodicos mixtos. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz cuadrada de un número.

11.1 FRACCIONES Y DECIMALES PASO DE FRACCIÓN A EXPRESIÓN DECIMAL En una fracción dividimos numerador entre denominador. Puede ocurrir: 1.- Que la división es exacta  Resto = 0  Cociente = Números decimales EXACTOS 2.- Que la división NO es exacta  A partir de la coma se repiten las cifras del cociente Cociente = Números decimales PERIODICOS PUROS 3.- Que la división NO es exacta  Tras la coma hay cifras que no se repiten y después cifras que se repiten. Cociente = Números decimales PERIODICOS MIXTOS Todo número fraccionario se puede escribir como número decimal. Los números racionales son números decimales exactos o periódicos. Todo número decimal periódico se puede escribir como fracción, llamada fracción GENERATRIZ.

EJEMPLOS 1.- La fracción 7 / 4 Dividimos 7 entre 4  c = 1,75  Expresión decimal EXACTA 2.- La fracción 2 / 3 Dividimos 2 entre 3  c = 0,666666  Expresión decimal periódica PURA El 6 es la única cifra que se repite  El 6 se llama PERIODO 3.- La fracción 8765 / 900 Dividimos 8765 entre 900  c = 9,738888888  Expresión decimal periódica MIXTA Tras la coma, el 73 no se repite. Se llama ANTEPERIODO. El 8 es la única cifra que se repite  El 8 es el PERIODO

11.2 Números IRRACIONALES DEFINICIÓN Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES. Ejemplo: 21,303003000… No se pueden escribir en forma de fracción. Junto con los números racionales forman el conjunto de los números REALES ( R ) Los más importantes y característicos son: El número √2 = 1,4142… El número π = 3,1415 … El número e = 2,7182… y el número phi, Ø = 1,618…

El número √2 El primer irracional conocido fue √2 Se trata de la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale la unidad. Fue descubierto por Pitágoras, pero prohibió a sus alumnos difundirlo, pues uno de sus dogmas era que todo número se podía expresar como división o razón de otros dos; y claro, al ser √2 un número irracional, quedaba fuera del dogma. Aplicando el T. de Pitágoras: h= √ (12 + 12) = √ (1 + 1) = √ 2 1 √2

El número π Ya sabéis que es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de y además una serie de números racionales que converge hacia π

El número e Es tan importante o más que el número π. En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de “e” y además una serie de números racionales que converge hacia “e”.

El número Phi ( Ø ) 1 x La divina proporción ----- = ---------  x ( Ø ) = 1,618 x x + 1 Los primeros científicos lo bautizaron como «La Divina Proporción». Medid la distancia entre el suelo y la parte más alta de la cabeza. Y divididla luego entre la distancia que hay entre el ombligo y el suelo. Da el número Phi. Medíos la distancia entre el hombro y las puntas de los dedos y divididla por la distancia entre el codo y la punta de los dedos. Otra vez Phi. ¿Otro más? La distancia entre la cadera y el suelo dividida por la distancia entre la rodilla y el suelo. Otra vez Phi. La razón entre el largo y el ancho de las tarjetas de crédito: Phi. El nombre de Phi se puso en honor de Phideas de Mileto, el primer arquitecto que llevó dicha relación de medidas al diseñar y construir el Partenón ateniense.

APROXIMACIONES A menudo nos encontramos números con una excesiva cantidad de cifras decimales que no tiene sentido conservar. Otras veces al ser números irracionales, con infinitas cifras decimales, tenemos que tomar un número limitado de ellas para trabajar. Entonces redondeamos. Y el resultado son números aproximados. Hay que fijarse bien en las llamadas cifras significativas: El número 12,475 tiene cinco cifras significativas. El número 1,0490 tiene cinco cifras significativas. El número 0,0034 tiene dos cifras significativas. Por regla general debemos acostumbrarnos a sacar tres decimales, dos en muy pocos casos y uno solo casi nunca. Ejercicio: ¿Es lo mismo la expresión 2,76 que 2,760?

ERROR ABSOLUTO Se llama error absoluto a la diferencia entre el valor exacto y el aproximado de un número. Eo = |Vr – Va| Si el lugar de expresiones decimales trabajamos con fracciones no cometeremos ningún error. Ejemplo: Trabajar con 2 / 3 en lugar de con 0,6667 El error absoluto asociado al sustituir 3,1416 por el valor exacto de PI es menor de 0,000007 (7 millonésimas). ERROR RELATIVO Se llama error relativo de una aproximación al cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la magnitud. Con este tipo de error medimos en cuánto nos equivocamos por cada unidad de lo que estamos midiendo. No es lo mismo equivocarse en una diferencia de 4 al contar los alumnos de una clase que al contar las personas de una ciudad.