FRACCIONES Y DECIMALES ESPAD III * TC 3 FRACCIONES Y DECIMALES

FRACCIONES Y DECIMALES PASO DE FRACCIÓN A EXPRESIÓN DECIMAL En una fracción dividimos numerador entre denominador. Puede ocurrir: 1.- Que la división tiene un número finito de decimales  Cociente = Números decimales EXACTOS 2.- Que la división NO es exacta  A partir de la coma se repiten las cifras del cociente Cociente = Números decimales PERIODICOS PUROS 3.- Que la división NO es exacta  Tras la coma hay cifras que no se repiten y después cifras que se repiten. Cociente = Números decimales PERIODICOS MIXTOS Todo número fraccionario se puede escribir como número decimal. Los números racionales son números decimales exactos o periódicos. Todo número decimal periódico se puede escribir como fracción, llamada fracción GENERATRIZ.

EJEMPLOS 1.- La fracción 7 / 4 Dividimos 7 entre 4  c = 1,75  Expresión decimal EXACTA 2.- La fracción 2 / 3 Dividimos 2 entre 3  c = 0,666666  Expresión decimal periódica PURA El 6 es la única cifra que se repite  El 6 se llama PERIODO 3.- La fracción 8765 / 900 Dividimos 8765 entre 900  c = 9,738888888  Expresión decimal periódica MIXTA Tras la coma, el 73 no se repite. Se llama ANTEPERIODO. El 8 es la única cifra que se repite  El 8 es el PERIODO

PASO DE EXPRESIÓN DECIMAL A FRACCIÓN. Regla memorística: Como numerador de la fracción se pone el número decimal periódico sin coma, menos la parte entera y decimal no periódica sin coma; y por denominador tantos nueves como cifras decimales tenga la parte periódica, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica. Ejemplos: __ 503 - 5 498 166 5'03 = ---------- = ------ = ------- ; 99 99 33 _ 523 – 52 471 157 52'3 = ------------- = ------ = ------ ; 9 9 3

Ejemplos: __ 3 - 0 3 1 0'03 = ---------- = ------ = ---- ; 99 99 33 __ 3 - 0 3 1 0'03 = ---------- = ------ = ---- ; 99 99 33 ___ 151 – 0 151 0‘151 = ---------- = -------- ; 999 999 _ 503 – 50 453 151 5'03 = -------------- = ------ = ---- ; 90 90 30 __ 7075 – 70 7005 1401 467 7'075 = -------------- = ---------- = -------- = ------ ; 990 990 198 66

Veamos con un ejemplo: PROCESO NO MEMORÍSTICO __ X = 5 , 03 Restamos por un lado 100.X – X , y por otro lado 503,0303030… - 5´030303030…. Queda: 99.X = 503 – 5 , pues la parte decimal, al ser igual, se elimina en la resta. Despejando finalmente X tenemos: 503 – 5 498 166 X = ---------- = -------- = ------, que si se puede hay que simplificar. 99 99 33

Veamos otro ejemplo: __ x = 5, 4 03 x = 5,40303030303030…. Restamos por un lado 1000.x – 10.x , y por otro lado 5403,030303… - 54,030303…. Queda: 990.x = 5403 – 54 , pues la parte decimal, al ser igual, se elimina en la resta. Despejando finalmente x tenemos: 5403 - 54 5349 x = -------------- = ----------- 990 990

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ENUNCIADO_1 En una clase los 3 / 5 de los alumnos son rubios, la séptima parte son morenos, y el resto son pelirrojos. ¿Qué fracción de alumnos son pelirrojos?

… resolución … Cálculos: 3 / 5 son rubios. 1 / 7 son morenos. 3 / 5 + 1 / 7 = 21 / 35 + 5 / 35 = 26 / 35 entre rubios y morenos. 1 – 26 / 35 = 35 / 35 – 26 / 35 = 9 / 35 son los alumnos pelirrojos.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ENUNCIADO_2 En una clase el 25% de los alumnos son rubios, la séptima parte son morenos, y finalmente hay 17 alumnos pelirrojos. ¿Cuántos alumnos hay en clase? ¿Cuántos de ellos son rubios? ¿Cuántos de ellos son morenos?

RESOLUCION: 1 / 4 = 7 / 28 son rubios. 1 / 7 = 4 / 28 son morenos. 7 / 28 + 4 / 28 = 11 / 28 entre rubios y morenos. 1 – 11 / 28 = 28 / 28 – 11 / 28 = 17 / 28 son los restantes 17 alumnos pelirrojos. La unidad fraccionaria 1 / 28 es 1 pelirrojos. Luego el total son 28 alumnos

Responder y comprobar: ¿Cuántos alumnos hay en clase? 28 alumnos ¿Cuántos de ellos son rubios? 1 / 4 . 28 = 28 / 4 = 7 son rubios. ¿Cuántos de ellos son morenos? 1 / 7 . 28 = 28 / 7 = 4 son morenos. Además hay 17 alumnos pelirrojos. Comprobación: 7 + 4 + 17 = 28 alumnos.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ENUNCIADO_3 En una escuela el 20% de los alumnos son rubios, la séptima parte del resto son morenos, y finalmente hay 48 alumnos pelirrojos. ¿Cuántos alumnos hay en la escuela? ¿Cuántos de ellos son rubios? ¿Cuántos de ellos son morenos?

RESOLUCIÓN 1 / 5 son rubios. Restantes alumnos: 1 – 1 / 5 = (5 / 5) – (1 / 5 ) = 4 / 5. 1 / 7 de 4 / 5 = 1/ 7 . 4 / 5 = 4 / 35 son morenos. 1 / 5 + 4 / 35 = (7 + 4) / 35 = 11 / 35 son rubios o morenos. 1 – 11 / 35 = (35 – 11) / 35 = 24 / 35 son los 48 alumnos pelirrojos. La unidad fraccionaria 1 / 35 son 2 alumnos pelirrojos. Luego el total son 35.2 = 70 alumnos

Responder y comprobar: ¿Cuántos alumnos hay en clase? 70 alumnos ¿Cuántos de ellos son rubios? 1 / 5 . 70 = 70 / 5 = 14 son rubios. ¿Cuántos de ellos son morenos? 1 / 7 . ( 70 – 14) = 1 / 7 . 56 = 56 / 7 = 8 son morenos. Además hay 48 alumnos pelirrojos. Comprobación: 14 + 8 + 48 = 70 alumnos.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ENUNCIADO_4 En una tienda venden refrescos de 1,5 litros a 3 € y bocadillos de ¼ de barra a 20 céntimos de €. En otra tienda los refrescos, de 1/3 de litro, valen 75 céntimos de €, y los bocadillos, de 2/3 de barra, cuestan 40 céntimos de € Queremos comprar 20 litros de refrescos y 15 barras de bocadillos en la misma tienda. ¿Cuál es la tienda más barata?.

RESOLUCION: Tienda A Refrescos 1,5 litros a 3 €  1 litro a 2 € Bocadillos 1/4 barra a 0,20 €  1 barra a 0,80 € Tienda B Refrescos 1/3 litros a 0,75 €  1 litro a 2,25 € Bocadillos 2/3 barra a 0,40 €  1 barra a 0,60 € Gastaríamos: Tienda A: 20 x 2 + 15 x 0,80 = 40+12 = 52 € Tienda B: 20 x 2,25 + 15 x 0,60 = 45+9 = 54 € Luego nos conviene comprar en la tienda A.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ENUNCIADO_5 En una tienda ofrecen tres botellas de refrescos de 1,5 litros al precio de dos, valiendo cada botella 2 €. En otra tienda regalan dos botellines de 33 centilitros por cada paquete de seis botellines que se compren, costando 2 € el paquete. En otra tienda venden garrafas de refresco de 8 litros por 7,6 €. ¿Cuál es la oferta más ventajosa, sabiendo que el refresco es el mismo?.

RESOLUCION: Tienda A Refrescos 1,5x3 litros a 2x2,25 € Refrescos 4,5 litros a 4,5 €  1 litros a 1 € Tienda B Refrescos 0,33x7 litros a 2,18 € Refrescos 2,31 litros a 2,18 €  1 litro a 0,90 € Tienda C Refrescos 8 litros a 7,60 €  1 litro a 0,95 € Luego nos conviene comprar botellines en la tienda B.

OPERACIONES CON RACIONALES OPERACIONES CON ENTEROS, FRACCIONES Y DECIMALES Los números enteros (Z) más los números fraccionarios dan lugar a los números racionales (Q). Los números decimales exactos o periódicos son números racionales expresados en forma decimal en lugar de fracción. Reglas para operar convenientemente: Primero Se pasan los números decimales a fracción. Segundo Se pasan los números enteros a fracciones que tenga de denominador la unidad. Tercero Se realizan las operaciones con las fracciones resultantes, cuidando la jerarquía, y sin olvidar simplificar la fracción solución resultante.

Ejemplo 1 5 5 3 5 18 5+18 23 --- + 3 = --- + ---- = ---- + ------ = --------- = ----- 6 6 1 6 6 6 6 Ejemplo 2 3 – 2 3 – 8 3 – 8 + 3 – 5 5 – 2 + --- = ---- + ----- = ------ + ---- = ----------- = ------ = – ----- = – 1,25 4 1 4 4 4 4 4 4 Ejemplo 3 9 1 9 3 5 9 15 1 – 9 + 15 7 1 – --- + 3 = --- – ---- + ---- = --- – ---- + ------ = ----------------- = ---- = 1,40 5 1 5 1 5 5 5 5 5 Ejemplo 4 7 3 7 3 3 14 36 9 14 + 36 – 9 41 --- + 3 – --- = ----- + ---- – --- = ----- + ----- – ----- = ----------------- = ---- 6 4 6 1 4 12 12 12 12 12

Ejemplo 5 1 1 35 5 105 5+105 110 11 --- + 3,5 = --- + ---- = ------ + ------ = ----------- = ------- = ----- 6 6 10 30 30 30 30 3 Ejemplo 6 _ 7 23 – 2 7 21 7 – 21 + 21 0 – 2,3 + --- = – --------- + ----- = – ------ + ---- = ------------- = ------ = 0 3 9 3 9 3 9 9 Ejemplo 7 9 _ 9 321 – 32 162 289 – 162 + 289 127 – --- + 3,21 = – ---- + ------------- = – ------- + ------ = ----------------- = ------ 5 5 90 90 90 90 90 Ejemplo 8 1 __ 3 1 15 – 0 3 132 60 297 – 105 – 35 --- + 0,15 – --- = ----- + ---------- – --- = ----- + ----- – ------ = --------- = ------ 3 4 3 99 4 396 396 396 396 132

Ejemplo 9 __ 3011 – 11 315 3000 315 – 300 315 – 3,011 + 3,15 = – -------------- + ------ = – ------ + ------ = --------- + ------- = 990 100 990 100 99 100 – 30000 31185 1185 237 79 = ------------ + --------- = --------- = -------- = ------- 9900 9900 9900 1980 660 Ejemplo 10 1 __ 1 321 – 3 22 – 198 3180 2178 – --- + 3,21 – 2,2 = – ----- + ---------- – ---- = -------- + -------- – -------- = 5 5 99 10 990 990 990 – 198 + 3180 – 2178 3180 – 2376 804 402 134 = ----------------------------- = ------------------ = -------- = -------- = ------ 990 990 990 495 165

Ejemplo 11 5 _ 8 4 _ --- + 1,3. [ 1,5 – 7. ( ---- – 2 ) ] : ---- . (1,6 + 2) 6 3 7 Vemos que hay un paréntesis anidado. 5 _ 8 – 6 4 _ --- + 1,3 . [ 1,5 – 7. ( --------) ] : ---- .(1,6 + 2) 6 3 7 5 _ 3 2 4 _ --- + 1,3 . [ ---- – 7. ---- ] : ---- .(1,6 + 2) 6 2 3 7 5 _ 3 14 4 _ --- + 1,3 . [ ---- – ---- ] : ---- .(1,6 + 2) 6 2 3 7 Queda aún un paréntesis que hay que resolver prioritariamente.

5 _ 3 14 4 5 --- + 1,3 . [ ---- – ---- ] : ---- .( ---- + 2) 6 2 3 7 3 5 _ 9 28 4 5 + 6 --- + 1,3 . [ ---- – ---- ] : ---- .(---------) 6 6 6 7 3 Pasamos los números decimales periódicos a fracciones: 5 4 - 19 4 21 --- + --- . [ ---- ] : ---- .---- 6 3 6 7 3 Ahora los productos y divisiones, de izquierda a derecha: 5 - 76 4 21 --- + ----- : ---- .---- 6 18 7 3 5 - 228 21 --- + --------- . ---- 6 72 3

5 - 228 21 --- + --------- . ---- 6 72 3 5 - 4788 --- + ----------- 6 216 Ahora ya sólo quedan sumas: 180 - 4788 – 4608 – 2304 – 1152 – 576 – 192 – 64 ------- + --------- = ----------- = --------- = ---------- = --------- = -------- = ------ 216 216 216 108 54 27 9 3 Tras dividir sucesivamente por los factores comunes de numerador y denominador, queda finalmente la fracción resultante: