Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Laureate International Universities* TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112 EPE-SISTEMAS UPC CICLO 2007-1 Valores Extremos de una función real de varias variables

OBJETIVOS Define y describe el concepto de punto extremo, valor extremo. Determina los puntos críticos de una función de dos variables. Utiliza el criterio de la segunda derivada para caracterizar un extremo. Determina los extremos relativos de una función sin restricciones. Resuelve problemas que se reducen al cálculo de extremos de funciones reales de varias variables.

Problema: Encuentre el volumen de la mayor caja rectangular situada en el primer octante, con tres caras en los planos de coordenadas y un vértice en el plano y x z

Punto mínimo y valor mínimo Sea (a,b) se llama punto mínimo de la función f(x,y) en D si: (1) Y el valor f(a,b) se llama valor mínimo de f(x,y) en D ( es decir f tiene un mínimo en (a,b))

Punto máximo y valor máximo Sea (a,b) se llama punto máximo de la función f(x,y) en D si: (2) f(a,b) se llama valor máximo de f(x,y) en D ( f tiene un máximo en (a,b))

Nota 1: * Cuando la relación (1) se verifica en algún disco centrado en (a,b) diremos que es punto mínimo local y a f(a,b) es el valor mínimo local * Cuando la relación (1) se verifica en todo el dominio de la función diremos que el punto es mínimo absoluto (global), y f(a,b) es el valor mínimo absoluto (global)

Nota 2: * Cuando la relación (2) se verifica en algún disco centrado en (a,b) diremos que es punto máximo local y f(a,b) el valor máximo local * Cuando la relación (2) se verifica en todo el dominio de la función diremos que el punto es máximo absoluto ( global), y f(a,b) es el valor máximo absoluto (global)

Nota 3: Los puntos del dominio de la función que son mínimos locales ó máximos locales se llamarán puntos extremos, los valores de la función en estos puntos se llamarán valores extremos.

Si f tiene un extremo local en (a,b) y las derivadas parciales de f existen en dicho punto, entonces: Punto Crítico: Un punto (a,b) se llama punto critico de f(x,y), si: ( , 1. ) D Î b a 2.

Criterio de la segunda derivada Si en (a,b) tenemos: Entonces:

Punto de silla

Ejercicios: 1. Encuentre el máximo y mínimo local de f, así como los puntos de ensilladura: 2. Resolver el problema de la introducción de la clase.

3. Encuentre las dimensiones de la caja rectangular con máximo volumen si el área superficial total es de 64 cm. 4. Una caja de cartón sin tapa debe tener un volumen de 32 000 cm3. Encuentre las dimensiones que hagan mínima la cantidad de cartón utilizado.