MATEMATICA I Lógica Matemticas Prof Rubén Millán millan_ruben@yahoo.com

Lógica La lógica proposicional usa reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado.

1. ENUNCIADO: oración o frase que expresa alguna idea (afirmaciones, negaciones,¿?,¡ !, saludos, emociones, etc) . Ejm: “ Pare inmediatamente!” “¿15 y 18 tienen la misma cantidad de divisores?”. “ En realidad, no sé a qué se refiere”. 2. ENUNCIADO ABIERTO: enunciado que contiene variables o letras y no tiene la propiedad de ser verdadero o falso. Ejm: 5x+1=0 a-b =b-a 6y-4>20

Todo número real tiene raíz cuadrada. 3. PROPOSICIÓN LÓGICA: enunciado que puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambas a la vez . Ejm: 1+4=5 . 2 es un número primo. 15 es múltiplo de 2 . Todo número real tiene raíz cuadrada. Todos los números que terminan en cero son divisibles por cinco. V V F F V

¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones? Explica por qué sí son proposiciones y por qué las otras no lo son. “ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”. “ 2 es divisor de 15”. “ ¿Fuiste a la manifestación del sábado?”. “Todo número entero es positivo” “ x + 3 es un entero positivo”. “ Tranquilícese”.

Notación Para denotar o representar las proposiciones se usan letras minúsculas: p, q, r, s, ... p: El 5 es un entero par. q: Los números naturales son positivos. r: 2+5 < 8-1. s: “Un decenio tiene 10 años”

4. PROPOSICIÓN SIMPLE O ATOMICA: proposición lógica que consta de un solo sujeto y predicado (Variables proposicionales). Ejm: 3 divide a 6. 12 es un número par. 1 es un número natural. 5. PROPOSICIÓN COMPUESTA O MOLECULAR: proposición lógica compuesta de dos o más proposiciones simples. Ejm: 3 divide a 6 y 12 es un número par. 12 es un número par entonces tiene mitad.

OPERADORES LÓGICOS Y , PERO Conjunción  O Disyunción  SI … ENTONCES Condicional  SI Y SÓLO SI Bicondicional  NO, NO ES CIERTO QUE Negación

Tablas de Verdad 1. Conjunción: su valor de verdad es verdadero solamente si ambas proposiciones son verdaderas, en los demás casos será falso. p q p  q V F V F F F

2. Disyunción: su valor de verdad es falso solamente si ambas proposiciones son falsas, en los demás casos será verdadero. p q p  q V F V V V F

3. Condicional: su valor de verdad es falso solamente si de una verdad se llega a una falsedad, en los demás casos será verdadero. p q p  q V F V F V V

4. Bicondicional: su valor de verdad es verdadero solamente si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en los demás casos será falso. p q p  q V F V F F V

5. La Negación: simplemente cambia el valor de verdad. F F V

Construcción de tablas de verdad ¿Cuántas filas tiene la tabla? 1 proposición  2 valores (V o F) 2 proposiciones  4 valores de verdad 3 proposiciones  8 valores de verdad ......... n proposiciones  2n valores de verdad.

Fórmula lógica Es una combinación de proposiciones mediante los operadores lógicos. Ejemplo: p  q p V F q V F q F V P  q F Contingencia (combinación entre verdaderos y falsos) V F F

(todos son verdaderos) Ejemplo: p  p p V F p  p V Tautología (todos son verdaderos) V

Ejemplo: p  p p V F p  p F Contradicción (todos son falsos) F

LEYES DE LA LOGICA PROPOSICIONAL: 1. Ley de Involución (doble negación): ~ (~p) ≡ p 2. La idempotencia: a) p ٧ p ≡ p; b) p ٨ p ≡ p; 3. Leyes conmutativas: a) p ٧ q ≡ q ٧ p b) p ٨ q ≡ q ٨ p c) p ↔ q ≡ q ↔ p

4. Leyes asociativas: a) (p ٧ q) ٧ r ≡ p ٧ (q ٧ r) b) (p ٨ q) ٨ r ≡ p ٨ (q ٨ r) c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r) 5. Leyes distributivas: a) r ٧ (p ٨ q) ≡ (r ٧ p) ٨ (r ٧ q) b) r ٨ (p ٧ q) ≡ (r ٨ p) ٧ (r ٨ q) c) p → (q ٧ r) ≡ (p → q) ٧ (p → r) d) p → (q ٨ r) ≡ (p → q) ٨ (p → r)

6. Leyes de Morgan: a) ~ (p ٧ q) ≡ (~p ٨ ~q) b) ~ (p ٨ q) ≡ (~p ٧ ~q) 7. Leyes del Condicional: a) p → q ≡ ~p ٧ q b) ~ (p → q) ≡ p ٨ ~q 8. Leyes del Bicondicional: a) p ↔ q ≡ (p → q) ٨ (q → p) b) p ↔ q ≡ (p ٨ q) ٧ (~p ٨ ~q)

9. Leyes de la Absorción: a) p ٨ (p ٧ q) ≡ p b) p ٨ (~p ٧ q) ≡ p ٨ q c) p ٧ (p ٨ q) ≡ p d) p ٧ (~p ٨ q) ≡ p ٧ q 10. Leyes de Transposición: a) (p → q) ≡ (~q → ~p) b) (p ↔ q) ≡ (~q ↔ ~p) 11. Ley de Exportación: (p ٨ q) → r ≡ p → (q → r)

13. Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología: 12. Formas normales: Para la Conjunción: V ٨ V ≡ V; V ٨ P ≡ P; F ٨ P ≡ F Para la Disyunción: F ٧ F ≡ F; F ٧ P ≡ P; V ٧ P ≡ V 13. Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología: P ٨ C = C; C ٧ T = T; P ٧ T = T; C ٨ T = C donde: T= Tautología (Verdad), C = Contradicción (Falso), P = Esquema Molecular Cualquiera

SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES La simplificación de una proposición, o dicho de otra manera, la simplificación de una expresión lógica consiste en reducir la expresión lógica a una forma más simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lógicas. La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso mediante la sustitución en cada paso de una expresión lógica equivalente a la anterior, hasta llegar a una expresión lógica irreducible. A través de la simplificación podemos también demostrar una equivalencia lógica sin usar tablas de verdad.

[(~p  p)  q]  [~q  (r  q)]  [~p  (p  ~q)]  Impla. Material Simplificar la expresión: [(p p)  q]  [~q  (r  q)]  [p  (p  ~q)] Recuerde Ubicar la ley que utiliza [(~p  p)  q]  [~q  (r  q)]  [~p  (p  ~q)]  Impla. Material [(~p  p)  q]  [~q  (r  q)]  [(~p  p)  ~q]  Asociativa (v  q)  [~q  (r  q)]  (v  ~q)  Complemento v  [~q  (r  q)]  v  Dominancia v  v  [~q  (r  q)]  Asociativa v  [~q  (r  q)]  Idempotencia ~q  (r  q)  Elemento Neutro (~q  r)  (~q  q)  Distributiva (~q  r)  v  Complemento ~q  r Elemento Neutro